Mesure de probabilité pour une variable aléatoire continue

Question

Dites une variable aléatoire continue $X \in \mathbb{R}$ a une fonction de densité de probabilité (pdf).

Est-il exact que,

changer la mesure de probabilité $\Rightarrow$ définir un nouveau pdf pour X

?

En d'autres termes, «changer la mesure de probabilité» est-il juste une façon élégante de dire «supposons maintenant que $X$ est distribué selon un autre pdf?

Answer 1

Oui, le PDF classique du début de la probabilité basée sur le calcul est la «dérivée Radon-Nikodym» de la mesure de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue. Cela correspond plus ou moins à prendre le dérivé du CDF pour obtenir le PDF.

Même si la classe de probabilité intro donne l'impression que nous obtenons des CDF en intégrant des densités, les CDF proviennent directement de la mesure de probabilité, comme $F_X(x) = P(X \le x)$ pour la mesure de probabilité $P$. Les CDF sont, dans un certain sens, plus fondamentaux pour la probabilité formelle, théorique de mesure, même si leur visualisation n'est pas aussi simple qu'un histogramme ou une autre représentation de la densité.