Montrer que ce quad est cyclique

Question

Cela ne semble pas difficile mais cela m'a coincé:

• $I$ est l'incitateur de $\triangle ABC$
• $D$ le point de contact du cercle avec $BC$
• $M,M'$ sont l'intersection du cercle circulaire de $\triangle ABC$ avec la médiatrice perpendiculaire de $BC$, $M'$ sur l'arc $BAC$
• $E = AD \cap (ABC)$
• $F,F' = M'E \cap (BCI)$

Montre CA $AIEF'$ se trouve sur un cercle.

J'ai vu ce problème dans un blog. Nous savons que le quadrilatère$BFCF'$ est harmonique car $BM'$ et $CM'$ sont toutes les deux des lignes tangentes.

Par conséquent ligne $F'F$ est symédien de $\triangle BF'C$. Le blog a dit que cela, ainsi que le fait que$\angle DIM = \angle DEF$ implique le quad $AIEF'$ est cyclique et je ne vois pas cette implication (même si je vois que $FF'$ est symédian et l'égalité des angles).

Si vous pouvez trouver d'autres idées, ce sera cool aussi.

Quelques faits:

• $E$ est le milieu de $FF'$

• la bissectrice de $\angle BF'C$ rencontre les deux: $(BCI)$ et $MM'$ au même point.

Answer 1

OP mentionne ce billet de blog comme source d'inspiration pour la question. Ce message pourrait dire que$AIEF'$ est cyclique à cause de "l'axe radical", mais si c'est le cas, il fait l'erreur de supposer que $I,D,F'$ sont colinéaires.

Le billet de blog fait référence à un fil sur le problème, dont il s'agit d'une entrée . L'entrée définit$F'$ comme colinéaire avec $I,D$, et ultérieurement (après avoir montré $AIEF'$ cyclique) démontre que $F'$ est colinéaire avec $E,M'$.

En supposant $I,D,F'$ colinéaire la méthode de "l'axe radical" revient à calculer les puissances du point $D$ par rapport aux cercles $(ABC)$ et $(BIC)$ et les trois lignes $AE,BC,IF'$, Nous donnant $$AD\cdot DE=BD\cdot DC=ID\cdot DF'.$$Par le théorème des accords croisés $AD\cdot DE=ID\cdot DF'$ implique $AIEF'$ est cyclique.

Après cela, nous pouvons incliner la poursuite (comme dans l'entrée de fil) pour montrer que $F'$ est colinéaire avec $E,M'$ nous donnant la configuration quadruple harmonique.

Answer 2

Remarque: comme indiqué, la réponse suivante est invalide, car elle suppose $I,D,F'$ sont colinéaires.

L'objet est de montrer $\angle AIF' = \angle AEF’$.

$\angle AIF' = (black) + [grey] = (0.5\angle A+ \angle C + 0.5\angle B) +[90^0 – 0.5\angle B] = 0.5\angle A + \angle C + 90^0$

$\angle AEF’ = 90^0 + (purple) = 90^0 + (blue + [brown]) = 90^0 + (0.5\angle A + [\angle C])$