Nombre de surjections de l'ensemble de 8 éléments à l'ensemble de 6 éléments

Question

Ma tentative:

Les surjections de 8 éléments à 6 éléments peuvent être divisées en 2 cas.

1. Trois des éléments d'un ensemble de 8 éléments sont mappés à un élément unique dans un ensemble de 6 éléments.

2. Quatre des éléments de l'ensemble de 8 éléments, qui sont divisés en groupes de deux, sont mappés à deux éléments dans l'ensemble de 6 éléments.

Pour le premier cas, nous avons ${8}\choose{3}$ $\cdot$ $6!$ surjections possibles.

Le deuxième cas a ${8}\choose{2}$ $\cdot$ ${6}\choose{2}$ $\cdot$ $6!$ surjections possibles.

Au total, il y a ${8}\choose{3}$ $\cdot$ $6!$ + ${8}\choose{2}$ $\cdot$ ${6}\choose{2}$ $\cdot$ $6!$ $= 342720$ surjections possibles.

Est-ce une approche correcte pour résoudre le problème?

Tout avis sera le bienvenu.

Je vous remercie!

Answer 1

Presque parfait. Vous devez simplement appliquer le$(1/2)$ scalaire au second cas pour compenser le sur-comptage.

Par exemple: si vous envoyez $\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ à $\{1,2,3,4,5,6\}$
votre formule actuelle compte deux fois $(a,b) \to 1, ~~(c,d) \to 2$.

Votre approche est très élégante en interprétant les lettres doubles ou triples comme une seule unité. Le piège commun ici est que si deux de vos unités ont chacune une taille supérieure à 1 et que chacune est de la même taille, comme dans votre deuxième cas, alors vous sur-comptez.