obtenir une expression simplifiée du coefficient de $x^n$

Question

J'essayais de trouver le coefficient de$x^n$dans l'élargissement de$(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$dénoté$[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$. En utilisant le théorème du binôme négatif, je sais qu'il est égal à$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

Cependant, je me demandais s'il y avait un moyen de simplifier encore plus cette expression?

Answer 1

Comme suggéré par @AnginaSeng, vous pouvez appliquer une décomposition en fractions partielles :\begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

Answer 2

Voici peut-être une façon de commencer. Nous pouvons définir$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$où nous voudrions finalement savoir$f(-1,2)$. Notez que ceci est très suggestif de différencier une fonction beaucoup plus simple. En d'autres termes, en intégrant wrt$x$on a$$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$et en intégrant à nouveau wrt$y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$Si nous laissons$C(y) = 0 = K(x)$on a$I_{xy}(x,y)$qui devrait être facile à calculer via des séries géométriques droites. Ensuite, prenez une partie mixte wrt$x$et puis$y$(ou l'inverse), et évaluer à$x=-1,y=2$.

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Peut-être qu'une manière plus simple peut être de noter que$$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$où vous pouvez dériver$A,B,C$en développant le produit à terme linéaire et en simplifiant, et les 3 sommes sont des séries géométriques$\sum_k a^k$et 2 ses dérivés.