Option sur une option
Quelle est la valeur du contrat (à payer à l'heure actuelle $t_0$) qui donne le droit (mais pas l'obligation) d'acheter une option d'achat Vanilla (avec un certain strike K) à un prix prédéterminé $p$ à l'avenir $t_e$? Le prix,$p$ est déterminé à $t_0$ et payé à $t_e$si le titulaire exerce le droit d'acheter l'option. Supposons que le stock soit log-normal avec une volatilité constante.
Réponses
La preuve est relativement longue, je me concentre donc sur l'affichage du raisonnement et des grandes étapes.
Nous travaillons sur un modèle Black-Scholes. Sans perte de généralité, nous nous concentrons sur une option avec grève$P$ acheter à $t_e$ une option d'achat européenne expirant à $T$, écrit sur un stock $S$. Les attentes sont toujours prises par rapport à la mesure neutre au risque$Q$ sauf indication contraire, et nous écrivons $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
La valeur $C_t$ d'une option d'achat européenne est égal à: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
La valeur $O_t$ d'une option sur une option d'achat européenne est donnée par: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ où la dernière inégalité découle de la loi des attentes itérées, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ est la grève composée, et $S^\star$ est la valeur de $s$ qui résout l'équation suivante: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ où $c$ est le prix Black-Scholes non actualisé d'une option d'achat européenne: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
En pratique, la quantité $S^\star$ peut être calculé en résolvant numériquement l'équation $(2)$, par exemple par Newton-Raphson. Maintenant, le troisième terme de l'équation$(1)$ est simplement la probabilité qu'une variable log-normale soit supérieure $S^\star$. Par analogie avec Black-Scholes classique, cela équivaut à:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Pour calculer le deuxième terme de $(1)$, nous définissons $Z$ et $Y$ comme deux variables aléatoires normales indépendantes avec une moyenne nulle et une variance unitaire afin de représenter les incréments browniens de $t$ à $t_e$ et de là à $T$. Notez que:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ où $X$ est une troisième variable normale standard avec la corrélation suivante avec $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ D'où le deuxième terme de l'équation $(1)$ est la probabilité normale cumulative bivariée sur $Z$ et $X$ paramétré par leur corrélation $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Pour le premier terme de l'équation $(1)$, nous changeons la mesure de l'espérance en la mesure du stock où le numéraire est le stock $S$, que nous écrirons $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Le processus Radon-Nikodym qu'implique ce changement de mesure est: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Le «processus Novikov» pour ce changement de mesure est donc $\theta_t:=-\sigma t$. Ainsi, le processus suivant est le mouvement brownien sous la mesure du stock:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Cela implique que la dérive du stock sous cette nouvelle mesure augmente de $\sigma^2$. Nous pouvons tirer parti de l'équation$(4)$ mais cette fois sur des variables normales standard $Z'$, $Y'$ et $X'$ sous la mesure du stock $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ C'est: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Définition: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Puis en combinant des équations $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ et $(3.c)$, on obtient le résultat souhaité: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Comme vous pouvez le voir, il est très similaire à l'équation de Black-Scholes pour une option d'achat:
- Le troisième terme de la formule d'évaluation pour $O_t$ équivaut au deuxième terme de la formule de Black-Scholes, à savoir la grève actualisée $P$ multiplié par la probabilité que l'option sur l'option soit exercée;
- Les deux premiers termes combinés semblent très proches de la valeur Black-Scholes d'une option d'achat: c'est normal, car l'option est écrite sur une option d'achat. Cependant, les probabilités$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ et $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ tenir compte de la valeur du cours de l'action à $t_e$ et $T$. En effet, lorsque vous entrez dans une option d'achat vanille, vous connaissez le cours de l'action à la date de transaction$t$ mais pas à l'expiration $T$. Dans ce cas, vous entrerez l'option à un moment ultérieur$t_e>t$, par conséquent, vous ne connaissez pas la valeur du sous-jacent ni au début $t_e$ ni à l'expiration $T$: cette incertitude accrue est capturée par la distribution normale bivariée.
Je pense que vous faites référence à une option composée . Son évaluation selon les hypothèses de Black-Scholes est donnée dans le lien. L'option a d'abord été dérivée par Geske (1978), voir ici pour l'article original .