Pourquoi $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Mon problème:

Supposer $\mathcal{E}$ et $\mathcal{H}$ sont sous-$\sigma$-algèbres du $\sigma$-algèbre $\mathcal{F}$. Laisser$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ et $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Supposer que$\mathcal{E}$ est indépendant de $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

ensuite $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Ma tentative:

J'ai essayé d'utiliser la caractérisation $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ pour tous $\mathcal{H}$- variable aléatoire mesurable et bornée ou $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ pour tous $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-Variable aléatoire mesurable et bornée.

Answer 1

C'est un résultat bien connu de Doob.

Théorème: Let$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$ être sous -$\sigma$--algèbres de $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ pour tous $A\in \mathscr{A}$.

Voici une preuve de tir:

Supposer que $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$ sont conditionnelles indépendantes données $\mathscr{C}$, C'est $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ pour tous $A\in \mathscr{A}$ et $B\in \mathscr{B}$. Ensuite, pour tout$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ et $C\in\mathscr{C}$ nous avons $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Depuis $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, un argument de classe monotone montre que $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ pour tous $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Cela signifie que$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Inversement, supposons que $\eqref{doob-independence}$tient. Pour toute$A\in\mathscr{A}$ et $B\in\mathscr{B}$ nous avons \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Cela montre que $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$ sont indépendants étant donné $\mathscr{C}$.

L'extension aux variables aléatoires se fait en développant d'abord les fonctions simples et ensuite par l'approximation monotone habituelle par des fonctions simples.