Question dans l'espace de couverture
Cette déclaration se trouve dans la topologie et la géométrie de Bredon.
Je veux montrer la déclaration suivante.
Laisser $p_i:W_i\to Y, i=1,2$ couvrir des cartes de telle sorte que $W_1$ est simplement connecté, et laissez $w_i\in W_i$ et $y\in Y$ être tel que $p_i(w_i)=y$. Ensuite, il y a une carte unique$g:W_1\to W_2$ tel que $g(w_1)=w_2$ et $p_2\circ g=p_1$. Morever,$g$ est une carte de couverture.
Le livre dit que la déclaration découle de ce lemme.
Lemme. Laisser$W$être relié. Laisser$p:X\to Y$ être une carte de couverture et $f:W\to Y$une carte. Laisser$g_1$ et $g_2$ être des cartes $W\to X$ qui sont tous deux des levées de $f$. Si$g_1(w)=g_2(w)$ pour un certain point $w\in W$ puis $g_1\equiv g_2$.
Le lemme a supposé l'existence de l'ascenseur. Je pense donc que le lemme est utilisé pour montrer le caractère unique de$g$mais je ne connais pas l'existence. J'ai pensé au critère de levage général pour l'existence de la portance mais nous ne savons pas si$W_1$est connecté localement au chemin. Je ne sais donc pas comment fonctionne simplement la connectivité ici. Une aide ou des idées? Merci d'avance.
Réponses
Le chapitre «Covering Spaces» du livre de Bredon commence par
Les espaces que nous considérerons dans cette section seront tous Hausdorff, connectés en arc, et localement connectés en arc.
Je pense que Bredon a tort quand il dit que l'énoncé (corollaire 4.5) découle directement du lemme 4.4. Il découle plutôt du corollaire 4.2. Ce corollaire montre que la carte$p_1 : (W_1,w_1) \to (Y,y)$ a un ascenseur unique $g : (W_1,w_1) \to (W_2,w_2)$. Ça signifie$p_2 \circ g = p_1$.
Il reste à montrer que $g$est une carte de couverture. Bredon prétend qu'il s'agit d'un simple exercice de définition des cartes de couverture. Je ne dirais pas que c'est vraiment simple.
Nous montrons d'abord que $g$est surjectif. Laisser$z_2 \in W_2$. Choisissez n'importe quel$z_1 \in W_1$. Depuis$W_2$ est connecté en arc, il existe un chemin $u : I \to W_2$ tel que $u(0) = g(z_1)$ et $u(1) = z_2$. Le chemin$p_2 \circ u : I \to Y$ commence à $p_2(u(0)) = p_2(g(z_1)) = p_1(z_1)$ et a donc un ascenseur unique $v : I \to W_1$ tel que $v(0) =z_1$. ensuite$g \circ v : I \to W_2$ commence à $g(v(0)) = g(z_1)$. Nous avons$p_2 \circ g \circ v = p_1 \circ v = p_2 \circ u$. Donc$u$ et $g \circ v$ sont des ascenseurs de $p_2 \circ u$ les deux commencent à $g(z_1)$. Donc$u = g \circ v$ et $z_2 = u(1) = g(v(1)) \in g(W_1)$. Notez que la surjectivité de$g$ implique que pour chaque $M \subset Y$ $$g(p_1^{-1}(M)) = p_2^{-1}(M). \tag{1}$$
Nous montrons ensuite que chacun $z_2 \in W_2$a un voisinage ouvert en arc de cercle qui est uniformément couvert. Laisser$V_1$ et $V_2$ être des quartiers ouverts connectés en arc de cercle $p_2(z_2)$ dans $Y$ qui sont uniformément couverts par $p_1$ et par $p_2$. Il existe un quartier ouvert connecté en arc de cercle$V$ de $p_2(z_2)$ dans $Y$ tel que $V \subset V_1 \cap V_2$. L'ensemble$V$ est uniformément couvert par les deux $p_1$ et $p_2$. Écrire$p_i^{-1}(V) = \bigcup_{\alpha_i \in A_i} U_{i,\alpha_i}$ avec deux ouvertures disjointes $U_{i,\alpha_i} \subset W_i$ de telle sorte que les restrictions $p_{i,\alpha_i} : U_{i,\alpha_i} \stackrel{p_i}{\to} V$sont des homéomorphismes. D'où tout$U_{i,\alpha_i} $sont connectés en arc de cercle. Depuis$g$ est continu, chacun $g(U_{1,\alpha_1})$ est connecté en arc et donc contenu dans un unique $U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$(il est contenu dans l'union disjointe d'ensembles ouverts connectés en arc, donc un seul de ces ensembles peut l'intersecter). Écrire$g_{\alpha_1} : U_{1,\alpha_1} \stackrel{g}{\to} U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$. Nous avons$p_{2,\phi_g(\alpha_1)} \circ g_{\alpha_1} = p_{1,\alpha_1}$, Par conséquent $g_{\alpha_1} = p_{2,\phi_g(\alpha_1)}^{-1} \circ p_{1,\alpha_1}$ ce qui montre que $g_{\alpha_1}$est un homéomorphisme. La fonction$\phi_g : A_1 \to A_2$ doit être surjectif par $(1)$.
Maintenant $z_2$ est contenu dans un unique $U_{2,\bar \alpha_2}$. Laisser$A' = \phi_g^{-1}(\bar \alpha_2)$. ensuite$g^{-1}(U_{2,\bar \alpha_2}) = \bigcup_{\alpha_1 \in A'} U_{1, \alpha_1}$ ce qui montre que $U_{2,\bar \alpha_2}$ est uniformément couvert par $g$.