Question de mouvement de projectile étrange

Question

La question est la suivante:

Une balle est lancée d'un point $O$ vers un mur vertical de telle manière que, après avoir rebondi du mur, il revient à $O$sans heurter le sol. La vitesse initiale de la balle a une magnitude$U$ et est à un angle $θ$au-dessus de l'horizontale. Lorsque la balle heurte le mur, la composante horizontale de sa vitesse est inversée et divisée par deux, mais la composante verticale reste inchangée.

(i) Montrez que $U^2\sin{2\theta}=3gb$, où $b$ est la distance horizontale entre le mur et $O$.

(ii) Le point $P$ à laquelle la balle frappe le mur est à une hauteur $\frac{2}{9}b$ au-dessus du niveau de $O$. Trouver$U$ en terme de $b$ et $g$.

(iii) Le ballon est de nouveau lancé depuis $O$ avec la même vitesse $U$, frappe le mur au point $Q$, différent de $P$ et retourne à $O$sans heurter le sol. Trouvez, en termes de$b$, la hauteur de $Q$ au-dessus de la terre.

J'ai trouvé les parties (i) et (ii) relativement simples à résoudre, et j'ai trouvé $U=\sqrt{5gb}$ pour la partie (ii),

Ma question est la suivante: comment est-il possible qu'une particule soit projetée avec la même vitesse à partir du même point, capable de suivre la même trajectoire dans les deux sens mais de toucher un point différent sur le mur? Ou est-ce que je manque quelque chose ici?

Answer 1

Je ne suis pas sûr de comprendre exactement le problème, alors faites-moi savoir si cela ne répond pas à votre question:

Si vous avez résolu la première partie, vous devez être convaincu que la particule revient à $O$ quand il est projeté à une valeur de $\theta$ qui satisfait l'équation suivante: $$\sin{2\theta} = \frac{3 g b}{U^2}.$$On peut montrer que cette équation a deux racines dans le régime$0<\theta<\pi/2$. Voir, par exemple, cette réponse Math.SE à Deux racines d'arcsin (x) dans l'intervalle [0,2π] . Essentiellement, tout se résume au fait que$\sin{\theta} = \sin{(\pi-\theta)},$ et donc que $$\sin{2\theta} = \sin(\pi - 2\theta) = \sin\Big(2\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\Big).$$

En d'autres termes, $\theta$ et $\pi/2 - \theta$ sont les deux solutions à l'équation, et il y a donc deux valeurs de $\theta$ qui satisfont la relation spécifiée et par conséquent deux hauteurs qui le font aussi!

Answer 2

Comment est-il possible qu'une particule soit projetée avec la même vitesse à partir du même point, capable de suivre la même trajectoire dans les deux sens mais de toucher un point différent sur le mur?

La même vitesse n'est pas la même chose que la même vitesse. Deux projectiles lancés à partir du même point avec la même vitesse mais avec des angles différents suivront des trajectoires différentes, car ils démarrent avec des vitesses différentes.