Question de notation: Valeur attendue de la matrice?

Question

Je vois sur Wikipedia la déclaration suivante

Considérons une séquence finie $\left\{\mathbf{X}_{k}\right\}$ de matrices indépendantes, aléatoires, auto-adjointes de dimension $d$. Définir

$$\mu_{\min }=\lambda_{\min }\left(\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}\right) \quad \text { and } \quad \mu_{\max }=\lambda_{\max }\left(\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}\right)$$

Quel est le sens de $\mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$? Normalement, c'est la valeur attendue mais ici, je ne la comprends pas. Nous avons$\lambda_{\max}(\cdot)$ alors le $\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$ elle-même est une matrice qui signifie $\mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$est une matrice. Alors c'est quoi?

Answer 1

C'est toujours la valeur attendue . Explicitement, une matrice aléatoire$X$ est une matrice dont chacune des entrées $X_{ij}$ est une variable aléatoire et la valeur attendue $\mathbb{E}(X)$ est la matrice avec les entrées les valeurs attendues ponctuelles $\mathbb{E}(X_{ij})$.

Abstrait, une variable aléatoire $X$défini sur un espace de probabilité $(\Omega, P)$ a une attente définie par l'intégrale $\int_{\Omega} X(\omega) \, dP(\omega)$. Cette intégrale a du sens pour les valeurs vectorielles$X$ prendre des valeurs $\mathbb{R}^n$ (où c'est juste l'intégrale ponctuelle de chaque coefficient de $X$) et plus généralement pour $X$prendre des valeurs dans un espace de Banach .