Relation et mesure d'équivalence rationnelle

Question

Voici le problème et ma tentative de solution.

Problème: Let$m^*(E) > 0$. Définir la relation d'équivalence rationnelle sur$E$ par $x \sim y$ si, n'importe quel seulement si, $x - y \in \mathbb{Q}$. Montrez que l'ensemble de choix$(c_E)$ car la relation d'équivalence rationnelle doit être infiniment infinie.

(ma) Solution: Soit$m^*(E) > 0$. Définir la relation d'équivalence rationnelle sur$E$ par $x \sim y$ si, n'importe quel seulement si, $x - y \in \mathbb{Q}$. En guise de contradiction, supposons que$c_E$est infiniment infini. Avis, une propriété de$c_E$ est le suivant:

(i) Pour tout $e \in E, \exists c \in c_E: e - c = q$, pour $q \in \mathbb{Q}$.

Par conséquent, par (i) si $c_E$ est infiniment dénombrable de même $E$. Puisque la mesure extérieure de Lebesgue d'un ensemble infini dénombrable est nulle, nous obtenons:$$m^*(E) = 0,$$une contradiction. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle$c_E$est dénombrable infini est faux. Donc,$c_E$ doit être infiniment infini, comme souhaité.

Answer 1

Votre solution est correcte. Vous pourriez rendre votre solution peut-être légèrement plus claire:

Laisser $m^*(E) > 0$. Définir la relation d'équivalence rationnelle sur$E$ par $x \sim y$ si, n'importe quel seulement si, $x - y \in \mathbb{Q}$. En guise de contradiction, supposons que$c_E$est infiniment infini. Avis, une propriété de$c_E$ est le suivant:

$$E \subseteq \bigcup_{q \in \mathbb{Q}}(c_E+q) $$

Par conséquent, si $c_E$ est dénombrable tout comme $E$. Puisque la mesure externe de Lebesgue d'un ensemble dénombrable est nulle, nous obtenons:$$m^*(E) = 0,$$ une contradiction.