Résoudre $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Trouvez pour quelles valeurs de $n \in \mathbb{N}$ il tient que $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

J'ai essayé d'utiliser l'inégalité $(1 + x) \leq e^x$, mais à partir de là, je ne peux que constater que l'inégalité est valable $n > 36$. Mais j'ai besoin de$n$ aussi petit que possible.

J'ai aussi essayé l'induction sur $n$, mais je suis resté coincé dans l'étape d'induction. En particulier, en montrant que$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

J'apprécie toute aide et suggestions.

Answer 1

Nous avons $e^{3x} > 3x \ge x$ pour $x\ge 0$. Appliquer ceci à$x = \sqrt{n}$ obtenir $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Carrez les deux côtés et vous avez$e^{6\sqrt{n}} > n$ pour tous $n\ge 0$.

Answer 2

(Basé sur l'indice de user2661923, voir les commentaires ci-dessus.)

Je pose $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. La première dérivation de$f(x)$ est $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

On remarque que $f(1) = e^6 - 1 > 0$. De plus, il n'est pas difficile de vérifier que$f'(x) > 0$ pour $x \in [1, +\infty)$. Donc$f$ augmente $[1, +\infty)$ et $f(1) > 0$. Donc$f(x) > 0$ pour tous $x \in [1, +\infty)$. Cela implique que$x < e^{6\sqrt{x}}.$

Et ma question suit facilement.

Answer 3

L'inégalité vaut pour tous les positifs $x$, si efficacement qu'une preuve semble exagérée :-)

(Remarquerez que $0<e^{6\sqrt0}$ et $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

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Ou en utilisant Taylor,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$