Restriction causée par la substitution

Question

Nous rencontrons souvent des intégrales dans lesquelles nous utilisons diverses substitutions pour réduire notre problème. La substitution trigonométrique est la plus courante.

Quand nous remplaçons $x=\sin \theta$, ne restreignons-nous pas $x$les valeurs de $[-1,1]$?

Voici un exemple rapide:

$$\int_2^3 xdx$$

Dans ce cas, $x$ est toujours dans $[2,3]$. Ainsi est$x=\sin \theta$ une substitution valide ici?

En général, je voudrais dire qu'une substitution dans une intégration indéfinie est valide, si et seulement si la variable substituée a la même plage que la nouvelle variable.

Answer 1

Vous «exécutez» une intégrale définie sur un ensemble. D'une certaine manière, vous pouvez penser à une `` intégrale définie '' comme une procédure qui prend dans un sous-ensemble (S) de$\mathrm{R}$ et indique l'aire d'une fonction sous la courbe et l'axe des x dans cet intervalle.

Lorsque vous modifiez des variables, puisque vous modifiez la fonction que vous intégrez, vous devez également modifier l'ensemble sur lequel vous intégrez. Si vous intégrez sur un ensemble$[a,b]$ et vous effectuez une substitution du formulaire ci-dessous:

$$ x= g(t)$$

Puis, dans le nouveau domaine de $t$, votre domaine est transformé comme ceci:

$$ [a,b] \to [ g^{-1} (a) , g^{-1} (b) ] $$

Vous pouvez penser que lorsque nous varions, nous varions $g(t)$et ceci, à son tour, fait varier la sortie. Et, donc, oui, nous ne pouvons faire une substitution que si le$g(t)$ peut couvrir le domaine d'origine sur lequel nous intégrions.

Compte tenu de ce qui précède, si vous effectuez un changement de variables, tout d'abord, vous devez vous assurer qu'il existe une fonction inverse bien définie de la nouvelle fonction que vous intégrez de sorte que vous puissiez modifier vos limites correctement.

Dans le cas particulier, il semble qu'on ne trouve pas $ \sin^{-1} (2)$ ou $ \sin^{-1} (3)$tout en étant contraint à l'ensemble des réels. Et par conséquent, cette substitution n'est pas possible dans ce cas.