Sel dans un récipient - problème ODE

Question

Nous travaillons avec un réservoir d'eau pouvant contenir jusqu'à 1000 litres. Le réservoir d'eau contient initialement 500 litres d'eau, dans lesquels 20 kg de sel ont été dissous. Il y a de l'agitation dans le récipient, donc la concentration de sel est la même partout.

De l'eau propre s'écoule dans le récipient à une vitesse de 4 L / min. Dans le même temps, de l'eau salée s'écoule du récipient à une vitesse de 2 L / min. Cela pose des problèmes car le conteneur ne fait que 1000 litres. Après un certain temps, une alarme retentit en raison d'un récipient rempli.

(a) À quelle heure l'alarme retentit-elle?

L'équation différentielle qui décrit ce problème est donnée par

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Il est précisé que la teneur en sel est de 10 kg lorsque l'alarme sonne, c'est-à-dire $y(250)=10$. Au moment où l'alarme retentit, l'afflux change de sorte que l'eau salée s'écoule désormais avec 35 g de sel par personne. litres à raison de 1L / min. Il y a encore 2L qui s'écoulent par. minute.

(b) Combien de sel y a-t-il dans le récipient quand il y a à nouveau 500L dans le récipient?

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Ma réponse: Eh bien (a) était assez facile, j'ai obtenu que l'alarme retentisse après 250 minutes depuis $500+2\cdot 250=1000$puis l'alarme sonnera. Mais la dernière partie, à savoir (b), n'est pas facile pour moi. Je crois que je dois faire un ODE à partir des informations que je viens de recevoir, mais ici j'ai essayé plusieurs fois. Remarquez que ce problème venait d'un livre où il y avait plus de questions, j'ai juste choisi la partie pertinente. (b) est également indiqué comme «volontaire» dans le livre. Notez que ce n'est pas un problème de devoirs.

Answer 1

Pour la partie (b),

vous avez $1000$ litre d'eau pour commencer avec $10$ kg de sel.

Le volume d'eau diminue à raison de 1 litre / min (1 litre entrant et 2 litres sortant chaque minute). Ça prendra$500$ minute pour réduire de $1000$ litre à $500$ litre.

Donc, le volume d'eau restant dans le réservoir après le temps $t$ minutes $= 1000 - t$

Le sel entre au rythme de $0.035$ kg / min.

Dis qu'il y a $y$ kg de sel à un moment donné $t$ dans $1000-t$ litre d'eau.

Puis au temps $t$, le sel s'écoule au rythme de $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (comme $2$ litre par minute s'écoulant)

Donc taux de changement de sel $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Disons $x = 1000 - t$ puis avec substitution,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(je)

Maintenant, pour résoudre cette équation linéaire, nous devons utiliser un facteur d'intégration. J'ai utilisé WolframAlpha pour vérifier.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Multiplier les deux côtés par $\mu$ dans (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Remplacer le dos $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

À $t = 0$, il y a $10$ kg de sel.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Donc, constant $c = -\frac{25}{1000^2}$

À $t = 500$,

Sel total $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kg.