Sheafification du pré-feuillage constant

Question

Je lis sur la sheafification mais c'est trop abstrait pour moi. J'essaie de travailler sur l'exemple de la sheafification d'un pré-émail constant et mon conseiller me donne cet exemple: Soit$X$ être un espace topologique et $A$être un groupe abélien. Laisser$\mathfrak{A}^+$ être la pré-feuille des fonctions continues, ie $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ où $A$ a la topologie discrète, pour chaque ensemble ouvert $U$. Il y a 3 choses qu'il veut que je montre:

(1) $\mathfrak{A}^+$ est une gerbe de groupes abéliens.

(2) Toutes les tiges $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) La carte naturelle $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ de la gerbe constante induit un isomorphisme sur les tiges

(1) est facile puisqu'une fonction est $0$ si c'est $0$localement. Je pense que (2) et (3) devraient être faciles car nous n'avons pas beaucoup d'informations, mais étrangement je ne sais pas comment les utiliser.

Dans (2), je connais les cartes $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ quand $V\subseteq U$est juste une restriction. Par définition, la tige$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Mais comment convertir la définition (groupe de fonctions continues) en$A$? J'ai même l'impression que nous manquons d'informations ici car nous ne connaissons même pas la structure des ensembles ouverts dans$X$, et je ne vois aucune carte naturelle de la limite directe à $A$.

(3) est encore plus ambigu pour moi. Dire$U$est ouvert. Comment mappez-vous naturellement un élément dans$A=\mathfrak{A}$, à une fonction $U\to A$ dans $\mathfrak{A}^+$? Je sais que les cartes satisfont un diagramme, donc$f_U(a)|_V=f_V(a)$ où $V\subseteq U$sont des ensembles ouverts. Selon (2), les tiges des deux sont$A$, mais je ne pense pas que la carte induite serait l'identité, donc il m'est plus difficile de comprendre pourquoi c'est un iso?

Je ne suis qu'un débutant en géométrie algébrique, donc ces questions peuvent être évidentes. Je vous remercie.

Answer 1

(1) Beaucoup plus généralement (et donc beaucoup plus facile!):
Étant donné un espace topologique arbitraire$Y$ il y a une gerbe $\mathcal C_Y$ sur $X$ caractérisé par l'exigence que pour tout sous-ensemble ouvert $U\subset X$ nous avons $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, l'ensemble des fonctions continues $U\to Y$.
Votre$ \mathfrak A^+$ est exactement la gerbe $\mathcal C_A$, où $A$ est doté de la topologie discrète.

(2) Nous avons un morphisme des groupes abéliens $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ défini comme suit: étant donné un germe $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ nous le représentons par une fonction continue $g:U\to A$ et nous définissons $i(\gamma)=g(x)$.
Ce morphisme est un isomorphisme puisqu'il a pour inverse explicite le morphisme de groupe$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ Envoi en cours $a\in A$ à $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, le germe à $x$ de la fonction constante $\operatorname {const}(a): X\to A$ envoyer n'importe quel point de $X$ à $a$.

(3) Pour tout quartier $U\subset X$ de $x$ la carte $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ est clairement injectif, et prend ainsi des limites directes de la carte $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$est également injectif.
La surjectivité est facile aussi: dans la notation de (b) un germe$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ est l'image sous $f$ du germe $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Et ainsi nous avons prouvé que le morphisme$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ est en effet bijectif.