Solution au système d'équations trigonométriques?

Question

On me donne le système suivant d'équations trigonométriques pour les paramètres $x,y \in \mathbb{R}$, avec $p:= \sqrt3/2$ et $q:=1/2$:

$$\begin{align} \cos y - \sin\left(\frac\pi6 + px - qy\right) - \sin\left(\frac\pi6 + px + qy\right) &= 0 \\[6pt] \sin y + \cos\left(\frac\pi6 + px - qy\right) - \cos\left(\frac\pi6 + px + qy\right) &=0 \end{align}$$

Selon WolframAlpha , on peut même trouver des solutions explicites, mais je ne vois pas tout à fait comment dériver ces / toutes les solutions à partir de zéro?

Answer 1

La réponse de @ Claude a pris une tournure que je n'avais pas envisagée. Mon commentaire visait à configurer cet argument:

$$ \cos y = 2\cos qy\sin\left(\frac\pi6+px\right) \qquad \sin y = 2\sin qy\sin\left(\frac\pi6+px\right) \tag1$$ pour que $$1=\cos^2y+\sin^2y=4\left(\cos^2qy+\sin^2qy\right)\sin^2\left(\frac\pi6+px\right)=4\sin^2\left(\frac\pi6+px\right) \tag{2}$$ Donc, $$\sin\left(\frac\pi6+px\right) = \pm\frac12 =\sin\left(\pm\frac\pi6\right) \tag3$$ et replaçant dans $(1)$ donne $$\cos y = \pm \cos qy \qquad \sin y = \pm \sin qy \tag4$$ où, il faut le noter, tout "$\pm$"péché $(3)$ et $(4)$rencontre. À partir de là, résoudre pour$x$ et $y$ est simple. $\square$

Answer 2

Comme @Blue l'a commenté, réécrivez $$\cos(y)= \sin\left(\frac\pi6 + px - qy\right) + \sin\left(\frac\pi6 + px + qy\right)=\cos (q y) \left(\sqrt{3} \sin (p x)+\cos (p x)\right)$$ $$\sin(y)=\cos\left(\frac\pi6 + px + qy\right)-\cos\left(\frac\pi6 + px - qy\right)=\sin (q y) \left(\cos (p x)\right)-\sqrt{3} \sin (p x))$$

Équerrez les deux côtés, ajoutez et simplifiez pour obtenir $$1=\sqrt{3} \sin (2 p x)-\cos (2 p x)+2$$ ce qui donne une solution (j'omets les modulo) $$\left\{\{px\to 0\},\left\{px\to -\pi\right\},\left\{px\to -\frac{\pi }{3 }\right\},\left\{px\to \frac{2 \pi }{3 }\right\},\left\{px\to {\pi }\right\}\right\}$$ Pour chacune de ces solutions, calculez $y$.