sommation de cette série binomiale

Question

J'ai trouvé une question vraiment intéressante qui est la suivante: Prouvez que la valeur de $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

mon approche:

J'ai essayé de simplifier le sigma le plus profond ainsi que d'essayer de simplifier en utilisant ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ cependant je ne peux pas mettre la main sur celui-ci.

Je suppose que la sommation se simplifie en une série standard, mais je ne peux pas le dire avec certitude. Veuillez m'aider.

Answer 1

Tout d'abord, je ne pense pas que votre somme soit tout à fait correcte. Les limites de la somme extérieure doivent être $k=0$ à $7$, Je crois, sinon la valeur n'est pas $6^7$. (Question maintenant corrigée)

Vous êtes sur la bonne voie et réécrire les coefficients binomiaux en termes de factorielles vous aidera. Bien que les facteurs à l'intérieur de la somme$r$ne simplifiera pas beaucoup par eux-mêmes. La solution est d'amener le facteur$1/\binom{14}{k}$dans la deuxième somme. Cela nous donne$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Cela peut être reconnu comme $\binom{14-k}{r-k}$. Notez que la somme intérieure est de$r = k$ à $14$, nous pouvons laisser $t = r-k$et changez les limites en $0$ et $14-k$. Cela transforme la somme intérieure en$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ La somme extérieure peut maintenant être évaluée, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

En utilisant $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ donné se réduit à

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Edit: Comme indiqué par @ElliotYu, la limite externe doit être de$0$ à $7$.

Answer 3

Réglage $n=7$ on obtient \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} et la réclamation suit.