Transformation intégrale réduite?

Question

J'ai découvert que les intégrales suivantes sont égales:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Laisser $f^s(x)=x^s,$ alors le LHS peut être écrit comme $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Cela me rappelle la transformation de Mellin sur un support borné.

Le RHS est-il une sorte de transformation de Mellin déguisée?

Il semble que. Cela signifie que pour une constante$r>0$ l'intégrale suivante représente une transformée de Mellin où le seul objet de l'intégrande est le noyau:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Donc, pour ce noyau spécifique, je pense que sa transformation Mellin ne peut être écrite qu'en utilisant le noyau lui-même.

Est-ce exact?

Answer 1

Pour $s > 0$, en supposant qu'il converge absolument sur un intervalle $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Alors oui, le RHS est une transformation déguisée de Mellin et Laplace.

Plus amusant quand on demande (par suite analytique) pour lequel $f$ et dans quel sens (fonctionnel analytique) l'égalité reste vraie pour $\Re(s)\in (a,b)$ complexe.