Trouver des matrices élémentaires

Question

Considérons donc ces matrices $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Et la question est de trouver la matrice inversible $X$ tel que $AX=B$ et exprimer $X$comme un produit de 2 matrices élémentaires.

Ce que je sais, j'ai essayé: donc je sais que vous pouvez facilement obtenir X en inversant A et en le multipliant par B mais j'ai besoin des deux matrices élémentaires, alors j'ai essayé une solution différente.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Donc ce que j'ai fait était d'essayer de rendre A égal à par des opérations élémentaires sur les lignes et de faire de même avec un autre $\times$ 2 matrice d'identité.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

J'ai donc pu arriver à C en deux opérations élémentaires comme le problème spécifié. Mais ensuite, quand j'essaye de vérifier avec mon équation d'origine:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Ce n'est pas égal à C. Je ne comprends pas ce que je fais de mal? J'ai essayé de faire le calcul encore et encore et j'arrive toujours à la même chose. Où est mon erreur ici? Est-ce le processus lui-même?

Answer 1

Essayez de calculer $A^{-1}B$ et vous verrez que la matrice est différente de $E_1E_2$ , donc en raison de l'inverse d'une matrice carrée est unique (et donc $A^{-1}B$ trop) votre méthode est fausse.

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Pour résoudre le problème, j'utiliserais une propriété de la matrice transposée, à savoir:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Pour l'utiliser, recherchez les matrices élémentaires du système: $$KA^T = B^T$$ avec $K=E_2E_1$, puis tout transposer, en obtenant:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$