Trouver les limites de 2 séquences

Question

J'ai 2 séquences dont je dois trouver la limite. Mais je ne sais pas si j'ai suffisamment prouvé cela ou s'il existe une meilleure façon de le faire.

(une) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$

(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , pour $a,b \gt 0$

Donc pour (a) je l'ai depuis $(-1)^n$est borné, il n'est pas pertinent pour un grand n. Aussi, (je ne connais pas le terme correct pour cela) depuis$n^2$ est dominant par rapport à $n$, pour très grand $n$, la limite est essentiellement $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.

Je ne sais pas comment écrire cela correctement car cela semble assez informel et non prouvé.

pour (b) je ne suis pas tout à fait sûr. J'ai d'abord essayé de factoriser quelque chose mais je ne suis pas allé très loin. Maintenant j'ai utilisé$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Cela se traduit par$\frac{c}{3c-b^n}$. Mais c'est là que je suis coincé. Comment procéder?

Answer 1

Pour le premier à formaliser, utilisez

$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$

pour le second que nous avons

$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$

alors considérez les cas $a>b$, $a=b$ et $a<b$.

Answer 2

Astuce: pour justifier votre réponse pour a) divisez tous les termes par $n^{2}$ et le prendre la limite.

Si $a>b$ divisez tous les termes par $a^{n}$. Vous voyez que la limite est$\frac 1 3$ (depuis $(\frac b a)^{n} \to 0$). Si$a<b$ diviser par $b^{n}$ pour voir que la limite est $\frac 2 5$. Si$a=b$ alors la limite est $\frac {1+2} {3+5}$.