Une conjecture primordiale orientée vers le détail

Question

Conjecture pour les entiers arbitraires$\ 0 \le k \le m\ $ il existe un entier $\ n\ge m\ $ tel que pour chaque nombre naturel $\ s\ $ au moins un des nombres $\ p(x)+s\ (\text{where}\ k\le x\le n)\ $ n'est pas primordial.

Ici, $\ p(0)=2, p(1)=3,\ldots\ $ est la séquence strictement croissante de tous les nombres premiers.

Answer 1

Laisser $q=p(k)$. En utilisant le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques, il y a$n\geq m$ assez grand pour que pour tout $a$ non divisible par $q$, il y en a $k\leq x\leq n$ tel que $p(x)\equiv a\pmod q$. Prenant également$a=0$ et $x=k$, nous voyons que cela est vrai pour toutes les classes de résidus mod$q$.

Prenez n'importe quel naturel $s$ (ce qui nécessite vraisemblablement aussi $s>0$pour toi). Choisissez-en$k\leq x\leq n$ tel que $p(x)\equiv -s\pmod q$(qui existe par construction). Puis$p(x)+s$ est divisible par $q$ et supérieur à $q$.