Unicité de la décomposition spectrale

Question

Dans l'un des articles (liés à l'informatique quantique) que je lis, je suis tombé sur cette déclaration qui dit:

Un résultat élémentaire est que les ensembles de projecteurs propres orthogonaux de rang un des opérateurs hermitiens ne sont pas uniques lorsque le spectre comprend des valeurs propres dégénérées, et que l'unicité est récupérée lorsque les projecteurs propres de rang un sont combinés en projecteurs propres de rang complet, correspondant aux sous-ensembles maximaux de rang- un projecteur propre pour des valeurs propres distinctes.

Pour tout opérateur hermitien de dimension finie $\rho$, il existe un ensemble "unique" de projecteurs de plein écran $\Pi_k$ tel que, $\rho = \sum_k Tr(\rho\Pi_k)\Pi_k$, qui satisfont également $\sum_k\Pi_k = I $ et $\Pi_k\rho = \rho\Pi_k = Tr(\rho\Pi_k)\Pi_k$

Ici, je comprends que la décomposition spectrale peut ne pas être unique s'il y a dégénérescence impliquée. Quels sont exactement les "projecteurs de rangs complets" mentionnés ici, et pourquoi rendent-ils la décomposition unique.

Answer 1

Considérez la matrice suivante:

$$A=\pmatrix{1 &0&0\\0&2&0\\0&0&2}$$

Je peux décomposer $A$ comme la somme des projecteurs sur les sous-espaces 1D comme suit:

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}+2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1}$$

Mais cette décomposition n'est pas unique, car je pourrais aussi utiliser celle-ci:

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}}+2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}}$$

Chaque matrice de projection écrite ci-dessus est une projection sur un sous-espace 1D de $\mathbb R^3$. Cependant, puisque l'espace propre correspondant à la valeur propre$2$ est en 2D, les deuxième et troisième projections ne sont pas uniques.

Ce que je peux faire, cependant, c'est exprimer$A$ comme

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$$

Maintenant, la première projection est sur un sous-espace 1D, mais la seconde projection est sur le sous-espace 2D complet correspondant à la valeur propre $2$. C'est ce que votre article voulait dire - les projections doivent être sur les espaces propres complets, pas seulement sur les sous-espaces 1D, si vous voulez que la décomposition soit unique.