Utilisation d'arguments de symétrie
J'essaye de résoudre le problème $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$en utilisant des arguments de symétrie. Quelqu'un pourrait-il me diriger vers une question similaire ou me guider à travers un problème similaire afin que je puisse apprendre la méthode pour résoudre des problèmes comme celui-ci?
edit: Voici les étapes que j'ai suivies: $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$ $$\int_V r^2\sin\theta\, e^{iar\sin^2\theta\cos^2\phi}e^{-br^2}dr\,d\theta\, d\phi,$$ et je pense que je peux faire valoir que $\theta = \pi /2$ et $\phi = 0$, mais je ne sais pas si ou comment cela affectera l'intégrale.
modifier 2:
Après avoir reçu des conseils de Daniel et Cosmas, je vois maintenant pourquoi les coordonnées sphériques ne sont pas le bon mouvement. En suivant les étapes détaillées par Cosmas,$$\int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\int_0^xe^{-bx^2}dx\int_0^ye^{-by^2}dy$$ $$= \int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right)$$ $$=\left( \frac{\sqrt{\pi}e^{-\frac{a^2}{4b}}erf(\sqrt{b}z-\frac{ia}{2\sqrt{b}})}{2\sqrt{b}} \right)\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right),$$
que je suppose que vous résoudriez davantage si vous donniez plus d'informations sur les valeurs de x, y et z, car les fonctions d'erreur de petite valeur et de grande valeur ont des développements différents. Cosmas a recommandé de supprimer immédiatement le terme b, mais je l'ai fait par parties en utilisant la substitution u.
Réponses
C'est le produit des transformées de Fourier de trois Gaussiennes. Mais, bien sûr, avec une symétrie substantielle, ce serait donc un gaspillage de réaliser les trois.
Tout d'abord, en redéfinissant $\sqrt{b} ~{\mathbf x}\mapsto {\mathbf x}$, mise à l'échelle b du problème,$$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}= b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}.$$
Vous notez alors que, puisque vous intégrez dans toutes les directions, vous pouvez choisir votre axe z pour être dans la direction de a , c'est-à-dire${\mathbf a}= a\hat {\mathbf z} $, $$ b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}= b^{-3/2} \int\!\! dz~ e^{i{ a\over \sqrt{b}} z}e^{-z^2}\int\!\! dx dy ~~e^{-x^2-y^2}.$$
Vous avez donc deux gaussiens et la transformée de Fourier d'une gaussienne, qui est aussi une gaussienne dont la largeur est inversement proportionnelle à la largeur d'origine. Vous pouvez finir.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}} = \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \pars{\int_{\Omega}\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}}{\dd\Omega \over 4\pi}} 4\pi r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \bracks{\sin\pars{ar} \over ar}4\pi r^{2}\,\dd r \,\,\,\stackrel{\large ar\ \mapsto\ r}{=}\,\,\, \left.{2\pi \over a^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{\sin\pars{r} \over r}r^{2}\,\dd r \,\right\vert_{\large\ \mu\ \equiv\ b/a^{2}}\label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ {2\pi \over a^{3}}\int_{0}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{{1 \over 2}\int_{-1}^{1}\expo{\ic kr}\dd k}r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu\bracks{r - {k \over 2\mu}\,\ic}^{2} - {k^{2} \over 4\mu}} r^{2}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu r^{2}} \pars{r^{2} + {k \over \mu}\,r\,\ic - {k^{2} \over 4\mu^{2}}}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \bracks{% \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}r^{2}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}}\ -\ {k^{2} \over 4\mu^{2}}\ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over \mu^{1/2}}}}\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}\ \underbrace{\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \pars{1 - {k^{2} \over 4\mu}}\dd k} _{\ds{\exp\pars{-\,{1 \over 4\mu}} + \root{\pi\mu}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2\root{\mu}}}} \\[5mm] = &\ \bbx{{1 \over 2}\pars{\pi \over b}^{3/2}\exp\pars{-\,{a^{2} \over 4b}} + {\pi^{2} \over 2ab}\,\mrm{erf}\pars{a \over 2\root{b}}} \\ & \end{align}