Variable aléatoire dans $L^p$ implique une variable aléatoire dans $L^1$

Question

Je suis ouvrier et j'essaye de comprendre une preuve. J'essaye de comprendre une étape dans une preuve plus longue. Les hypothèses sont:

1. $X$ est un processus stochastique $\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ sur un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{F}, P)$, où $\mathcal{F}$ est un $\sigma$-algèbre et $P$ est une mesure de probabilité.
2. $\sup_{n\in\mathbb{N}}||X||_p < \infty$, avec $1<p<\infty$ où:$$||X||_p = E[|X|^p]^{\frac{1}{p}} $$Je voudrais montrer à cela: \ begin {équation} \ sup_ {n \ in \ mathbb {N}} || X_n || _1 \ le \ sup_ {n \ in \ mathbb {N}} || X_n || _p. \ end {équation}

Ma tentative:
depuis$\sup_{n\in\mathbb{N}}||X_n||_p < \infty$ puis $||X_n||_p < \infty$ pour tous $n\in\mathbb{N}$, C'est $X_n \in L^p$. Maintenant, je souhaite utiliser l'inégalité de Jensen pour prouver que$||X||_1\le ||X||_p $ si $X \in L^p$; cela sera suffisant pour terminer l'étape.
En général si$1\le r < p \le \infty$ Je souhaite montrer que, si $X\in L^p$ $||X||_r \le ||X||_p $. Définir$X_k = (\min\{|X|,k\})^r$ pour tous $k\in\mathbb{N}$. Je considère la fonction$\phi(x) = x ^\frac{p}{r}$ avec $x\in[0;\infty[$qui est convexe. Je peux utiliser l'inégalité de Jensen: \ begin {équation} \ phi (E [X_k]) \ le E [\ phi (X_k)] \ end {équation} parce que:
1.$X_k$est intégrable: \ begin {équation} E [| X_k |] = E [(\ min \ {| X |, k \}) ^ r] \ le E [k ^ r] = k ^ r \ end {équation} puisqu'il s'agit d'un espace de mesure finie ($P(\Omega)=1$),

1. $\phi(X_k)$est intégrable: \ begin {équation} E [| \ phi (X_k) |] = E [(\ min \ {| X |, k \}) ^ p] \ le E [| X | ^ p] \ le \ infty \ end {équation} Nous obtenons donc: \ begin {équation} \ phi (E [X_k]) = E [X_k] ^ {\ frac {p} {r}} \ le E [| \ phi (X_k) | ] \ le E [| X | ^ p] \ Rightarrow E [X_k] ^ {\ frac {1} {r}} \ le || X || _p \ end {équation} Nous prenons la limite pour$k \rightarrow \infty$ et en utilisant le théorème de convergence monotone, nous obtenons: $ ||X ||_r \le ||X ||_p$.

Est-ce que tout est correct? Merci!

Answer 1

Cela découle immédiatement de l'inégalité de Holder. Prendre$q$ tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Ensuite:

$||X||_1=\int_{\Omega} |X|\leq (\int_{\Omega} |X|^p)^{\frac{1}{p}}(\int_{\Omega} 1^q)^{\frac{1}{q}}=||X||_p$

Edit: le cas général découle du cas particulier. Présumer$1\leq r<p<\infty$. Nous pouvons définir$Y=X^r$. Par le cas particulier, nous avons prouvé que nous savons que$||Y||_1\leq ||Y||_{\frac{p}{r}}$, Ceci est dû au fait $1<\frac{p}{r}$. Mais maintenant, notez que$||Y||_1=(||X||_r)^r$ et $||Y||_{\frac{p}{r}}=(||X||_p)^r$.