$3^{123} \mod 100$

Anda memang benar. Namun, ada satu perbaikan kecil. Dengan menggunakan fungsi Carmichael , Anda dapat membantah bahwa kekuatan yang lebih kecil$3$, yaitu $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. Fungsi Carmichael membagi setengah fungsi total Euler ketika argumennya genap dan total Euler adalah kelipatan dari$4$, yang benar untuk $\lambda(100)$; jadi$3^{20}$ bisa menggantikan $3^{40}$ dalam argumen.

Pada tingkat yang lebih dasar, Anda dapat merender $3^4=80+1$ dan menaikkan kedua sisi ke pangkat kelima $3^{20}\equiv1\bmod 100$ sebagai Teorema Binomial untuk $(80+1)^5$ memberikan kelipatan $100$ plus $1$.

Benar, solusi alternatif:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

Benar! Saya yakin logika Anda benar. Sejauh yang saya bisa lihat ini adalah aplikasi yang benar dari generalisasi Euler dari Teorema Fermat.$\phi(100) = 40$ dan dengan demikian $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Jika perlu diyakinkan lebih lanjut, cukup masukan $3^{123}$ ke https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Sekali lagi, tidak terlalu diperlukan, tetapi jika Anda membutuhkan bukti konkret, itu dia.

OP memulai dengan mencari pola tetapi menyatakan itu

... meskipun banyak pemeriksaan yang menyakitkan tidak menghasilkan pola berguna yang jelas.

Anda dapat menggunakan beberapa teori cahaya untuk benar-benar memprediksi bentuk dan struktur pola.

Amati jika $a \in \{0,2,4,6,8\}$ dan $b \in \{1,3,7,9\}$ dan

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

kemudian pada kenyataannya $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ dan $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Ini adalah pola (teoritis) utama kami dan

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa digit satuan akan bergerak

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

di dalam masing-masing dari empat siklus ini.

Mengingat bahwa $3$adalah satu unit , kita dapat membantah bahwa salah satunya$4$-sepeda akan berakhir

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

dan bahwa tidak ada pengulangan yang mungkin sampai identifikasi tercapai.

Karena digit puluhan hanya dapat menggilir himpunan$\{0,2,4,6,8\}$, paling banyak ada lima $4$-sepeda yang harus dihitung.

Menghitung $2^{nd}$ $4$-sepeda:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Menghitung $3^{rd}$ $4$-sepeda:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Menghitung $4^{th}$ $4$-sepeda:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Pada titik ini kami benar-benar tidak perlu menghitung $5^{th}$ $4$-cycle karena kita tahu itu harus menjadi yang terakhir.

Sekarang kita bisa menggunakan fakta itu

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

dan mengerjakan rincian yang tersisa untuk pertanyaan OP.