Apakah penjumlahan operator shift dan operator kompak bisa dibalik?

Question

Membiarkan $T$ menjadi operator shift kanan, yaitu, $T(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$, seharusnya $E$ adalah operator kompak dari $\ell^{\infty}\rightarrow \ell^{\infty}$, bisa $T+E$ menjadi operator yang dapat dibalik dari $\ell^{\infty}\rightarrow \ell^{\infty}$? Tampaknya$T+E$ tidak bisa dibalik, tapi saya tidak bisa membuktikan ini.

Kami tahu itu $T$ dan $E$ bukan operator yang menduga-duga, saya mencoba menunjukkannya $T+E$tidak bersifat surjective sehingga tidak bisa dibalik tetapi gagal. Bisakah beberapa memberikan komentar?

Answer 1

$T+E$ akan menjadi operator Fredholm dengan indeks -1, jadi tidak bisa dibalik.