"As terakhir"

Question

Anda memiliki setumpuk 52 kartu yang dikocok dengan teliti. Setiap kali Anda memilih satu kartu dari tumpukan. Kartu yang ditarik dimasukkan kembali ke geladak dan semua 52 kartu dikocok kembali. Anda melanjutkan prosedur ini sampai Anda melihat keempat kartu As yang berbeda. Berapa nilai yang diharapkan dan deviasi standar berapa kali Anda harus menarik kartu sampai Anda melihat keempat kartu As yang berbeda?

Jelas masalahnya adalah saya bisa menggambar kartu as yang sama berulang kali, jadi saya harus menghitung jumlah kartu yang saya tarik di antara $k-1$sukses dan $k$sukses (misalnya, kartu yang ditarik antara ace ketiga dan keempat, masing-masing berbeda dari yang lain). Tetapi fakta bahwa ace pasti berbeda terkait dengan fakta bahwa setelah menarik ace, ace ini dimasukkan kembali ke geladak menyiratkan bahwa begitu saya menarik ace ketiga, "permainan" dimulai dari awal, jadi saya harus menghitung jumlah percobaan (kartu yang ditarik) diperlukan untuk mendapatkan keberhasilan pertama (misalnya, kartu as keempat dan terakhir belum terlihat).

Jadi jika $X_i=[$# kartu yang ditarik sebelum $i$th ace$]$, kami punya itu $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Bagaimana saya bisa menggunakan ini untuk menyelesaikan masalah? Terima kasih sebelumnya atas bantuannya.

Answer 1

Membiarkan $X$ menunjukkan variabel acak yang menunjukkan jumlah percobaan yang akan didapat $4$ace. Kita bisa membagi$X$ ke $4$ pisahkan variabel acak, yang akan kita panggil $X_1$ (jumlah percobaan untuk menarik ace pertama), $X_2$ (jumlah percobaan untuk menarik ace kedua setelah menarik yang pertama), $X_3$ (jumlah percobaan untuk menarik ace ketiga setelah menarik yang kedua) dan $X_4$(jumlah percobaan untuk menarik ace keempat setelah menarik yang ketiga). Distribusi probabilitas variabel adalah distribusi geometris. Untuk distribusi geometris, kami punya$E[Y]=\frac1p$ dan $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

Peluang menarik kartu as pertama kita dalam uji coba adalah $\frac4{52}=\frac1{13}$ begitu $E[X_1]=13$ dan $\text{Var}(X_1)=156$. Peluang menarik kartu as ketiga kita dalam uji coba adalah$\frac3{52}$ begitu $E[X_2]=\frac{52}3$ dan $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. Peluang menarik kartu as ketiga kita dalam uji coba adalah$\frac2{52}=\frac1{26}$ begitu $E[X_3]=26$ dan $\text{Var}(X_3)=650$. Peluang menarik kartu as ketiga kita dalam uji coba adalah$\frac1{52}$ begitu $E[X_3]=52$ dan $\text{Var}(X_4)=2652$.

Karena $X_1$, $X_2$, $X_3$ dan $X_4$ independen, kita dapat langsung menambahkan nilai dan varians yang diharapkan untuk mendapatkan nilai dan varians yang diharapkan $X$. Kita punya

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

dan

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Untuk mencari simpangan baku kita ambil akar kuadrat dari varians, yaitu:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$