Batas dengan arctan

Question

Saya perlu menghitung batas lain, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Saya tidak tahu bagaimana memulai atau apa yang harus dilakukan karena saya belum pernah berurusan dengan arctan dalam batas sebelumnya.

Apa yang harus saya lakukan pertama kali?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, jadi $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, sebagai $\tan x$ dan $\arctan x$ adalah fungsi kebalikan dari satu sama lain untuk $x \in [0, \pi/2)$.

Selebihnya hanya substitusi langsung. Anda harus mendapatkan:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Pertama-tama: jangan panik! :-)

Ada identitas yang bagus untuk arctangent: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Karena batasnya untuk $x\to\infty$, itu tidak membatasi untuk berasumsi $x>0$, jadi $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ dan, pengaturan $y=1/x$, batasnya menjadi $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ yang bukan merupakan bentuk tak tentu karena memang demikian $1^0=1$.