Batasan varians jumlah variabel acak dependen

Question

Membiarkan $x_1, \ldots, x_n$menjadi variabel acak tergantung , masing-masing mengambil nilai$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Anggaplah lebih lanjut bahwa dalam setiap hasil jumlah variabel acak yang sama dengan 2 adalah 1. Sekarang untuk masing-masing$i \in \{1, \ldots, n\}$ menetapkan $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ dan biarkan $ f = \sum_i f_i. $

Pertanyaan saya adalah seberapa besar variansnya $f$menjadi? Dugaan saya adalah bahwa kita harus bisa mengikatnya$O(1)$ tapi tidak tahu bagaimana membuktikannya.

---

Catatan: Jika itu membantu, mudah untuk membuktikannya $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ di mana persamaan terakhir berasal dari asumsi awal kami bahwa dalam semua hasil tepat satu dari $x_i$sama dengan 2.

Answer 1

$Var\,f$ bisa di urutan $n$ (tapi tidak lebih dari itu).

Memang, biarkan $U$ dan $N$ menjadi variabel acak independen sedemikian rupa $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ dan $P(N=i)=1/n$ untuk semua $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. Membiarkan$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Lalu dengan $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (sebagai $n\to\infty$).

Di samping itu, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$

---

Rincian tentang (1): Kami punya $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ dan $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ untuk $i\ne j$. Memilih sekarang$p=1/n$, kita punya
$$Ef^2\sim n/4.$$ Sejak $Ef=1$, (1) sekarang mengikuti.

---

Melihat kembali ke (2), sekarang ide di balik konstruksi harus menjadi transparan: Kami ingin membuat $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ untuk $i\ne j$ jauh lebih besar dari $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ dan pada saat yang sama tidak membuatnya $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$terlalu kecil. Pilihan$p=1/n$ hampir optimal dalam hal ini.