Batasi dalam batas

Question

Hai, bisakah seseorang menunjukkan kepada saya prosedur langkah demi langkah untuk menunjukkan bahwa di bawah ini dimungkinkan. Sepertinya saya tidak bisa menemukan cara untuk mengurangi batas dalam batas ke satu batas dan mengganti variabel 'a' dan 'b' dengan 'c'

(Seseorang menyebutkan batas berulang tetapi saya tidak yakin bagaimana cara menunjukkannya)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Ide ini digunakan saat membuktikan turunan Grunwald-Letkinov (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) dan mereka menyebutkan bahwa langkah ini dilakukan dengan mengasumsikan bahwa 'a' dan 'b' bertemu secara sinkron dan dapat dibenarkan oleh MVT. Jika memungkinkan, bisakah Anda menjelaskannya? dan bagaimana saya menggunakan MVT untuk membenarkan hal ini.

Answer 1

Anda dapat menulis ulang pembilang atas sebagai dan dengan asumsi $f$ dapat diturunkan maka:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Jadi kecuali $f$ konstan, suku terakhir menyimpang sejak Anda mengambil $\lim\limits_{b\to 0}$ pertama dalam ekspresi aslinya, jadi menurut saya ini bukan ekspresi yang dibentuk dengan baik.

Catatan: Anda dapat mencoba melamar $f(x)=x$

Akan lebih masuk akal untuk mengganti $-2f(x+b)$ oleh $-f(x+b)-f(x+a)$ dan membandingkannya dengan $f''(x)$.