Benarkah itu $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Cepat
Matriks simetris $S=S^T$ memiliki vektor eigen orthonormal $\vec{v}_1$ untuk $\vec{v}_n$. Kemudian vektor apapun$\vec{x}$ dapat ditulis sebagai kombinasi $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Jelaskan rumus ini:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Penjelasan saya:
$\vec{x}$ dapat ditulis sebagai $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Mempertimbangkan, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Kami melihat bahwa vektor eigen ortonormal dari $S$kalikan untuk membuat matriks eigenvlaue diagonal. Kami kemudian berakhir dengan hasil kali dalam dari pembobotan vektor, the$c^2$ istilah, diskalakan oleh nilai eigen masing-masing.
Saya merasa cukup baik dengan penjelasan saya. Hanya bagian yang saya tidak sepenuhnya mengerti adalah mengapa$V^{\,T}SV=\Lambda$... Bagi saya sepertinya itu harus sama dengan sesuatu yang lebih di sepanjang garis $\Lambda^T \Lambda$ karena setiap vektor eigen seharusnya diskalakan ketika dikalikan dengan kanan karena $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Benarkah itu $V^{\,T}SV=\Lambda$? Jika ya, sedikit bantuan untuk melihat mengapa akan dihargai.
Cara saya memikirkannya.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Cara untuk memikirkannya $SV$ adalah bahwa setiap kolom $V$ adalah vektor eigen yang mengalikan kolom dari $S$. Kita sudah tahu apa kombinasi ini akan sama dengan definisi vektor eigen$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Akhirnya, saat benar dikalikan dengan$V^T$ ingat bahwa $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ adalah $1$ kapan $i=j$ dan $0$ kapan $i\neq j$ dengan definisi sebagai vektor ortonormal.
Jelas kita berakhir dengan $\Lambda$ hasilnya.
Jawaban
Ya, memang benar begitu $V^TSV = \Lambda$. Ada beberapa cara agar kita dapat memahami mengapa ini berlaku; salah satu caranya adalah dengan membandingkan apa yang "dilakukan" setiap matriks dengan vektor kolom.
Membiarkan $\vec c$ menunjukkan vektor kolom $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Verifikasikan itu$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Sekarang, kami mempertimbangkan produknya $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Kami menemukan itu$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Dengan kata lain, peran file $V$ adalah menafsirkan entri dari $\vec c$ sebagai koefisien vektor $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Dari sana, kami melihat itu karena masing-masing$v_i$ adalah vektor eigen dari $S$, kita punya $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Terakhir, perhatikan bahwa (karena $V$ adalah ortogonal) $V^T$ adalah kebalikan dari $V$. Jadi, sama seperti$V$ mengartikan "vektor masukan" sebagai daftar koefisien untuk $v_i$, $V^T$ mengambil vektor dan memberi kita daftar koefisien untuk $v_i$sebagai hasilnya. Itu adalah,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Jadi memang, $V^TSV$ dan $\Lambda$ menggambarkan transformasi yang sama dan karena itu merupakan matriks yang sama.
Kami bisa memikirkan $V^TSV$ sebagai versi yang diubah dari $S$ di mana, alih-alih memikirkan entri vektor (baik input maupun output) sebagai koordinat literal dari sebuah vektor, kita menafsirkannya sebagai koefisien vektor kita $v_i$. Dalam terminologi yang mungkin sudah pernah Anda dengar sebelumnya, kami mengatakan itu$\Lambda$ adalah matriks dari $S$ "setelah perubahan basis".