Berapa banyak parameter yang diperkirakan dalam model 2PL?

Question

Saya akrab dengan model IRT 1PL, di mana Anda memiliki beberapa matriks data, dan Anda memodelkan faktor laten, theta (sifat / kemampuan) dan kesulitan (item).

data = np.array([[1,1,1,1],
                 [1,1,1,0],
                 [1,1,0,0],
                 [1,0,0,0],
                 [0,0,0,0]])

theta = [t1,t2,t3,t4,t5]
difficulty = [d1,d,2,d3,d4]

Pertimbangkan tes linguistik untuk anak-anak, di mana setiap baris mewakili anak yang berbeda dan setiap kolom mewakili pertanyaan yang berbeda. Jadi, matriks data pada baris / kolom tertentu menangkap respons dari anak tertentu atas pertanyaan yang diberikan. Model 1PL sigmoid(t-d)mempelajari fitur laten ini, sehingga Anda dapat mengukur tingkat kesulitan setiap pertanyaan dan kemampuan setiap anak. Perhatikan ada 9 parameter dalam model 1PL (5 anak, 4 pertanyaan.)

Sekarang, model 2PL mengambil bentuk yang sedikit berbeda sigmoid(a(t-d)), dimana a adalah faktor pembeda. Saya tidak yakin apakah a adalah:

1. Nilai skalar, yang sama, terlepas dari pasangan anak / item. (10 total parameter)
2. Larik dengan panjang 5, satu elemen per anak. (14 parameter)
3. Larik dengan panjang 4, satu elemen per pertanyaan. (13 parameter)
4. Matriks, satu elemen untuk setiap pasangan anak / item. (29 parameter)

P1. manakah di atas yang merupakan bentuk kanonik dari model 2PL? (atau jika ada konfigurasi lain yang tidak tercantum di atas.)

P2. Apa pilihan prior yang baik untuk a? (Saya telah menggunakan distribusi normal pada interpretasi 2 di atas untuk hasil yang tidak stabil menggunakan metode MCMC untuk pendekatan Bayesian.)

Terima kasih!

Answer 1

Q1 Model logistik satu parameter (1PL) memprediksi$i^{th}$ tanggapan siswa terhadap $j^{th}$ item sebagai fungsi dari kemampuan siswa $\theta_i$, itu $j^{th}$ kesulitan item $b_j$, dan kemiringan yang sama $a$. Pada tes 4 item (contoh Anda) ini membutuhkan estimasi dari 5 parameter item - kemiringan umum dan 4 parameter kesulitan.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a(\theta_i-b_j)]}$

Model logistik dua parameter (2PL) berbeda dari 1PL karena membebaskan kemiringan umum untuk bervariasi di $j$item. Pada tes 4 item Anda, ini membutuhkan estimasi dari 8 parameter item - 4 lereng dan 4 parameter kesulitan.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a_j(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a_j(\theta_i-b_j)]}$

Q2 Mengenai pilihan prior, saya telah menggunakan distribusi lognormal di masa lalu (lihat referensi 1 untuk info lebih lanjut). Namun, saya tidak yakin apakah IRT adalah alat yang tepat untuk masalah Anda (terlepas dari teknik estimasi). Bahkan dengan prior yang kuat (yang tampaknya tidak Anda miliki), sampel Anda cukup kecil. Bahkan aturan praktis untuk menggunakan IRT biasanya memerlukan ukuran sampel> 100 (lihat referensi 2 untuk info lebih lanjut).

(1) Natesan, P., Nandakumar, R., Minka, T., & Rubright, JD (2016). Pilihan Bayesian sebelumnya dalam estimasi IRT menggunakan MCMC dan variasi Bayes. Frontiers in psychology, 7, 1422.

(2) Cappelleri, JC, Lundy, JJ, & Hays, RD (2014). Tinjauan teori tes klasik dan teori respons item untuk penilaian kuantitatif item dalam mengembangkan ukuran hasil yang dilaporkan pasien. Terapi klinis, 36 (5), 648-662.