Bukti teorema Brianchon

Question

Saya mencari bukti teorema Brianchon , yang menyatakan:

Ketika segi enam dibatasi di sekitar bagian berbentuk kerucut, diagonal utamanya (yang menghubungkan simpul berlawanan) bertemu di satu titik.

Saya lebih suka bukti yang lebih sederhana daripada yang lebih kompleks. Terima kasih.

(PS: Pertanyaan serupa telah diajukan, tetapi tidak ada yang mendapat jawaban yang tepat.)

Answer 1

Saya mengerjakan bukti menggunakan teorema Ceva, tetapi membutuhkan beberapa lemma tambahan yang tidak jelas yang membuat saya ragu bahwa bukti itu akan sesederhana yang diharapkan OP. Mengutip Cut The Knot :

Cara termudah untuk membuktikan teorema Brianchon adalah dengan cara dualitas yang tersirat oleh sifat kutub dan kutub.

Tapi itu hanya cara untuk mereduksinya menjadi teorema Pascal, yang bagus jika Anda senang tidak harus membuktikan teorema Brianchon secara langsung.

Bukti modern yang elegan (Coxeter mengaitkannya dengan Smogorzhevskiĭ) diberikan di situs Pamfilos .

Versi saya tentang bukti Ceva dipandu oleh latihan 159-161 di Smith's Modern Geometry . Tetapi ada beberapa bukti dalam Geometri Proyektif Hatton , Bab XIV . Mereka diletakkan berdampingan dengan bukti Teorema Pascal , termasuk bukti Ceva. ( Bukti oleh Teorema Carnot , hal 191. Dinamakan tepat karena rangkap dari Teorema Carnot, dikaitkan dengan Chasles, adalah inti dari pembuktian). Bukti ini sepenuhnya umum untuk kerucut, tetapi bukti untuk kasus lingkaran disajikan di Bab XII.

Milne ( Cross-Ratio Geometry, hal 158 ) memberikan bukti singkat yang bagus, tetapi seperti biasa hal ini membutuhkan pemahaman tentang geometri proyektif.