Buktikan itu $Nullity(AB)=Nullity(B)$ dan $Range(AB)=Range(B)$

Question

Biarkan menjadi lapangan $K=\mathbb{R}$ atau $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ adalah matriks yang terkait dengan transformasi linier $A: K^n\rightarrow K^m$, dimana $m,n \in Z_{+}$. Kami mendefinisikan:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Jika $A\in K^{n\times n}$ adalah matriks yang dapat dibalik, buktikan itu $AB$ memiliki nulitas dan rentang yang sama dari B, untuk matriks apa pun $B \in K^{n\times m}$
2. Jika $m=n$, yang merupakan hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen dari matriks $AB$ dan $BA$.

Apa yang saya lakukan untuk 1 adalah ini:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

Di sisi lain kami memiliki itu,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

Dan juga, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

Apakah saya benar? Atau apa yang saya lakukan salah?

Dan untuk 2 saya tidak yakin yang mana hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen dari matriks AB dan BA.

Saya akan sangat menghargai bantuan Anda!

Answer 1

Argumen untuk (1) benar (kebanyakan: hapus $b$ di $bBx=0$, dan ganti $\dim(B)$ oleh $\dim(K^m)$.)

Untuk (2), misalkan $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). Kemudian$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ begitu $Bv$ adalah vektor eigen dari $BA$ dengan nilai eigen $\lambda$, kecuali $Bv=0$ (yaitu, $\lambda=0$).
Sebaliknya, jika$BAw=\mu w$ kemudian $Aw$ adalah vektor eigen dari $AB$, kecuali kalau $Aw=0$.

Kesimpulan: Nilai eigen dari $AB$ sama dengan yang ada $BA$, kecuali mungkin untuk nilai eigen nol (tidak bisa dikatakan dalam kasus itu).