Contoh dari semigroup daya cancellative

Question

Membiarkan $ \, S \, $ menjadi semigroup seperti itu $ \ |S| \geq 2 \ $. Semigroup kekuatannya adalah set daya$ \, \wp(S) \, $ bersama dengan operasi biner $$XY = \{ xy \in S : x \in X, \ y \in Y \} \ \ .$$

Saya tertarik dengan semigroup $ \ Q_S = \wp(S) \setminus \{ \varnothing \} \ $, yang juga saya sebut sebagai semigroup daya $ \, S \, $.

Semigroup A $ \, S \, $dikatakan left cancellative jika, dan hanya jika, untuk semua$ \ x,y,z \in S \ $, jika $ \ xy=xz \ $, kemudian $ \ y=z \ $.

Semigroup A $ \, S \, $dikatakan benar, membatalkan jika, dan hanya jika, untuk semua$ \ x,y,z \in S \ $, jika $ \ yx=zx \ $, kemudian $ \ y=z \ $.

Saya ingin melihat contoh semigroup $ \, S \, $ seperti yang $ \, Q_S \, $ adalah kanselatif kiri dan kanselatif kanan.

Saya menguji contoh semigroup yang paling cepat dan paling standar, tetapi tidak satupun dari mereka menghasilkan contoh yang diinginkan. Saya tidak tahu harus mencari ke mana lagi.

Answer 1

Sejak $\Bbb{N}\setminus \{0\}$ di bawah ini tidak memenuhi kondisi Anda (lihat Edit di bawah) tidak ada semigroup $S$ itu bisa.

Memang, jika $S$ berisi idempoten $e=e^2$ kemudian $\{e\}S=\{e\} eS$ di $Q_S$, karenanya $S=eS$, jadi $e$adalah elemen identitas kiri. Demikian pula$e$ adalah elemen identitas yang benar, jadi $e$ adalah elemen identitas di $S$. Tapi kemudian$SS=S=\{e\}S$ di $Q_S$, jadi $S=\{e\}$, sebuah kontradiksi.

Jadi $S$tidak mengandung idempoten. Tapi kemudian$S$ berisi subsemigroup siklik tak terbatas $C$ yang isomorfik ke semigroup aditif $\Bbb{N}\setminus\{0\}$, kontradiksi karena $Q_C\le Q_S$.

** Edit: ** Semigroup $Q_{\Bbb{N}\setminus\{0\}}$ tidak memenuhi properti pembatalan seperti yang diperhatikan @Simon: $$\{2\}+2(\Bbb{N}\setminus\{0\})=2(\Bbb{N}\setminus\{0\})+2(\Bbb{N}\setminus\{0\})$$ tapi $$\{2\}\ne 2(\Bbb{N}\setminus\{0\}).$$

Answer 2

Membiarkan $a \in S$ dan biarkan $a^+ = \{a^n \mid n > 0\}$ menjadi sub-kelompok dari $S$ dihasilkan oleh $a$. Sejak$aa^+ = a^+a^+$, satu dapat $a = a^+$dengan pembatalan yang benar. Jadi$a = a^2$ dan $S$adalah semigroup idempoten. Selanjutnya,$aS = aaS$ menyiratkan $S = aS$dengan pembatalan kiri. Karena itu,$SS = \bigcup_{x \in S} xS = S = aS$, darimana $S = a$dengan pembatalan yang benar. Jadi$S$ adalah semigroup sepele.