Dimensi dan ledakan

Question

Pertimbangkan variasi proyektif $X$, dan biarkan $Y$menjadi subvarietas tertutup. Pertimbangkan ledakan$X$ sepanjang Y: kami mendapatkan varietas baru $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, bersama dengan peta birasional $$b:\tilde{X}\to X$$ yang merupakan isomorfisme di luar lokus luar biasa $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Pertanyaan: Apakah benar demikian $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Ide saya: Ledakan adalah peta birasional, karenanya isomorfisme pada subset terbuka (padat); Karena dimensi suatu varietas didefinisikan sebagai derajat trascendence dari bidang fungsi, yang sama pada set terbuka, maka kita dapat menyimpulkannya.

Apakah ide saya benar? Saya menanyakan ini karena, sementara saya yakin ini untuk kasus meledakkan suatu titik, untuk kasus umum subvarietas saya tidak yakin, karena secara intuitif sepertinya saya menambahkan cukup ruang besar (saya tahu, ini tidak ketat, tapi saya baru saja mulai mempelajari topik ini).

Answer 1

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Salah satunya adalah saya pikir Anda ingin konstruksi ledakan tetap hidup$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; setidaknya ini berhasil saat$Y$ adalah persimpangan yang lengkap.

Namun secara umum, seperti yang Anda katakan, lokus luar biasa muncul sebagai proyeksi dari bundel normal $\mathcal N_{Y|X}$. Set$\dim X = n$ dan $\dim Y = m$. Pangkat dari bundel normal selalu merupakan codimension dari$Y\subset X$, karenanya $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ memiliki dimensi relatif $n - m - 1$ (artinya ini adalah dimensi serat dari $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, peta struktur bundel proyektif). Sekarang menambahkan ini dimensi$Y$, kami mendapatkan dimensi bundel proyektif sebagai variasi, yaitu $(n-m-1) + m = n-1$, menunjukkan bahwa ia memiliki kodimensi $1$ di $X$. Karena alasan inilah lokus ledakan yang luar biasa biasanya disebut sebagai pembagi luar biasa .