dimensi modul dan modul sederhana

Question

Saya mencoba memahami konsep baru ini. Misalkan saya punya skenario dimana$V$ adalah modul gratis dan juga $V$ adalah modul berdimensi terbatas, jika V sederhana, harus $V$ menjadi dimensi $1$?

Def:

Sebuah modul dikatakan sederhana jika ada submodul dari modul tersebut $\{0\}$ atau dirinya sendiri.

Pikiran saya adalah jika kita memiliki file $A$-modul $V$ yang kebetulan juga berdimensi terbatas lalu katakan $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, dengan skalar berasal $A$, maka tentunya jika kita mengambil subset yang tepat dari vektor basis seperti itu, rentangnya akan menjadi submodul yang tepat dari $V$? Karenanya$V$ sederhana hanya jika $n=1$? (tentu saja sebaliknya tidak benar, jika$n=1$ maka itu tidak harus sederhana)

Saya merasa ada yang salah dengan argumen saya, saya pasti bingung sesuatu dari modul dengan Aljabar Linear.

Answer 1

jika $V$ sederhana, harus $𝑉$ menjadi dimensi 1?

Nggak. Kesederhanaan modul aljabar di atas bidang tidak menjelaskan banyak tentang dimensinya.

Pertimbangkan cincin matriks $R=M_2(F)$ untuk sebuah lapangan $F$.

Kemudian $F\times F$, dipandang sebagai hak $R$ modul menggunakan perkalian matriks, merupakan modul sederhana yaitu $2$ dimensional over $F$.

Contoh lain dengan ide yang sama: biarkan $V$ menjadi ruang vektor berdimensi tak hingga, dan $E$menjadi cincin transformasi liniernya. Kemudian$V$ sebenarnya sederhana $E$ modul, namun $V$ memiliki tak terbatas $F$ dimensi.

---

Ini semua mengasumsikan yang Anda maksud "dimensi" dalam cara yang paling umum digunakan: sebagai invarian dari ruang vektor. Jika sebenarnya yang Anda maksud adalah jenis dimensi lain, Anda harus menentukan. Ada beberapa yang bisa Anda bicarakan. Misalnya, jika yang Anda maksud dengan dimensi adalah "panjang komposisi", maka ya , modul sederhana memiliki panjang komposisi$1$.