"Elemen" dari bilangan real

Question

Pertanyaan ini pada dasarnya adalah parafrase dari a https://math.stackexchange.com/questions/3796724 (dihapus) pertanyaan, yang berbicara tentang komentar Asaf Karagila tentang "unsur-unsur $\pi$".

---

Saya sadar bagaimana bilangan asli bisa https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers, jadi misalnya $3$ dapat dianggap sebagai himpunan $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, begitu juga elemennya $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Ini tampaknya cukup konkret dan alami.

Saya dapat melihat bahwa kita dapat menyesuaikan ini untuk menangani bilangan bulat, dengan misalnya menambahkan dalam set kosong kedua sebagai elemen "penanda" (jadi $-3$ sesuai dengan $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). Saya juga dapat melihat bahwa kita dapat mengadaptasi ide "penanda" ini untuk menangani bilangan rasional (yang merupakan pasangan bilangan bulat, dan kita "menandai" yang teratas dan yang terbawah dengan cara tertentu). Namun, saya sudah menjadi gugup di sini karena ini tampaknya jauh lebih sintetis daripada cara kami melihat bilangan asli.

Bagaimanapun. Tidak jelas bagi saya bagaimana suatu angka suka$\pi$ atau $e$dapat memiliki elemen. Salah satu caranya mungkin dengan melihat angka-angka ini sebagai batas urutan, dan juga sebagai daftar angka rasional. Namun, ini tampak mencurigakan karena angka-angka ini adalah batas urutan kelipatan, jadi ini tidak memberi saya himpunan kanonik yang mewakili bilangan ini, melainkan sekumpulan himpunan. Apakah ini OK, atau alasan saya rusak?

Jadi yang ingin saya tanyakan adalah:

Apa unsur-unsurnya $e$?

Atau, lebih halusnya, apakah pertanyaan ini masuk akal, atau haruskah kita menghilangkan kata "the" dari situ?

Answer 1

Apa bit persis dalam string yang merupakan jawaban saya? Itu tergantung pada bagaimana Anda mengkodekannya. Apakah itu UTF-8, atau mungkin UTF-16, atau mungkin ASCII. Mungkin Anda menggunakan browser yang merepresentasikan string sebagai urutan penghentian null, atau mungkin itu jenis objek yang lebih rumit.

Intinya adalah, string teks yang Anda baca sekarang memiliki banyak cara, semuanya valid dan semuanya berguna dengan caranya masing-masing, untuk menjadi rangkaian bit dalam memori komputer Anda.

Demikian pula, bilangan real, seperti yang biasanya dipikirkan kebanyakan orang, hanyalah entitas abstrak. Seperti string teks. Teori himpunan , dan memang setiap dasar matematika, mengimplementasikan entitas abstrak ini sebagai himpunan (atau sebaliknya dalam dasar lain). Manakah himpunan yang tepat yang merupakan bilangan real? Itu tergantung bagaimana Anda menerapkannya.

Rute standar yang disebut dalam kasus bilangan real dan $\sf ZFC$ (dan teori himpunan terkait), akan menjadi:

1. Memperbaiki penyandian pasangan terurut, biasanya penyandingan Kuratowski.
2. Menggunakan $\omega$, ordinal terkecil tak terbatas, untuk memodelkan bilangan asli.
3. Menetapkan $\Bbb Z$ sebagai hasil bagi $\omega\times\omega$ dengan cara aljabar.
4. Menetapkan $\Bbb Q$ sebagai hasil bagi $\Bbb{Z\times Z}$ dengan cara aljabar.
5. Menetapkan $\Bbb R$ sebagai penyelesaian $\Bbb Q$, yang dalam kasus teori himpunan agak lebih alami melalui pemotongan Dedekind.

Dalam hal ini, elemen $e$, atau memang bilangan real, adalah bilangan rasional lebih kecil dari $e$. Tapi apa bilangan rasionalnya? Nah, itu adalah himpunan pasangan bilangan bulat, yang merupakan himpunan pasangan ordinal berhingga, yang strukturnya sendiri cukup dipahami dengan baik.

Namun, itu bukan satu-satunya cara untuk menyandikan bilangan real. Kita dapat memilih cara berbeda untuk menyandikan pasangan berurutan, atau kita dapat menggunakan penyelesaian Cauchy menggunakan kelas ekivalen urutan bilangan rasional Cauchy. Kita dapat menyandikan bilangan bulat secara berbeda, atau kita dapat memutuskan untuk pindah dari$\omega$ ke bilangan rasional non-negatif, dan baru kemudian perkenalkan yang negatif.

Ada banyak, banyak cara untuk mengkodekan bilangan real menjadi set. Bahkan, kita bisa mengambil setiap set ukuran$2^{\aleph_0}$, jalankan "rute standar", dan kemudian gunakan bijection untuk membuat pengkodean ini. Dalam teori himpunan, bilangan real sering dianggap sebagai:

1. Himpunan bagian dari $\omega$.
2. Fungsi dari $\omega$ untuk $\omega$.
3. Fungsi dari $\omega$ untuk $2$.
4. Beberapa kombinasi set di atas.

Ini bergantung pada konteks. Sama seperti pertanyaan apakah string yang Anda baca diwakili satu atau lain cara tergantung pada browser apa yang Anda gunakan, sistem operasi yang Anda gunakan, dll.

Jadi untuk pertanyaan Anda, adalah yang unsur$e$? Nah, itu tergantung set yang mana$e$.

Answer 2

Berikut https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers#Construction_by_Dedekind_cuts, mari kita modelkan setiap bilangan real sebagai subset tepat tertutup ke bawah dari rasio tanpa elemen terbesar. Kemudian $$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$

Answer 3

Itu tergantung pada bagaimana Anda mendefinisikan bilangan real.

Itu https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers?wprov=sfti1karena mendefinisikan real sedikit lebih rumit daripada pendekatan Dedekind. Bilangan real dalam definisi ini adalah kelas ekivalen dari urutan bilangan rasional Cauchy.

Ini berarti bahwa elemen adalah urutan Cauchy tunggal $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ dari bilangan rasional yang menyatu $e,$ atau, kurang siklikal, diberikan:

$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ kita punya $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ jika $x_n-e_n\to 0.$

Answer 4

Konstruksi standar sudah dari $\Bbb Z$ dari $\Bbb N$berbeda dengan ide ad hoc Anda (yang mungkin jauh lebih ramping). Kami akan banyak menggunakan pasangan dan hubungan kesetaraan di sepanjang jalan. Jadi ingat bahwa untuk berpasangan dapat menggunakan definisi Kuratowski $$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Kami mendefinisikan sebagai kumpulan kelas kesetaraan dari pasangan bilangan asli, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ dimana $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ Dan kami menyuntikkan $\Bbb N\to \Bbb Z$ melalui $n\mapsto \overline{(n,0)}$. Dengan ini,$0\in\Bbb Z$ adalah setnya $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ dan sudah jauh lebih kompleks daripada $0=\emptyset\in\Bbb N$ kami punya sebelumnya.

Selanjutnya, kami biasanya akan mendefinisikan $\Bbb Q$ sebagai kelas kesetaraan dari pasangan bilangan bulat, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ dimana kali ini $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ Dan kami menyuntikkan $\Bbb Z\to \Bbb Q$ melalui $k\mapsto \overline{(k,1)}$.

Beberapa cara untuk mencapai real dimungkinkan. Saya akan menyarankan pemotongan Dedekind, tetapi selain dalam karya asli Dedekind (pasangan set rasio), saya akan menyarankan untuk menggunakan hanya satu set rasio (dengan properti tertentu) $$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$

Dengan ini, elemen $\pi$ hanya semua bilangan rasional $<\pi$ (sebagai contoh $3$ atau $\frac{22}7$ atau $-42$). Khususnya$0$ adalah elemen seperti itu, tetapi sebenarnya bukan $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, maupun $0_{\Bbb Z}$ dijelaskan dalam $(1)$ di atas, tetapi kelas ekivalen pecahan $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.