generalisasi multisets
Buktikan itu untuk semua $c,d \in \mathbb{R}$ dan $k\in\mathbb{N}, \left({c+d\choose k}\right) = \sum_{j=0}^k \left({c\choose j}\right) \left({d\choose k-j}\right).$
Saya tahu bagaimana menunjukkannya ${a+b\choose k} = \sum_{j=0}^k {a\choose j}{b\choose k-j}$ untuk $a,b\in \mathbb{R}$menggunakan bukti aljabar, tapi saya tidak yakin bagaimana menampilkan versi multiset ini. saya tahu itu$\left({n\choose k}\right) = {n+k-1\choose k}$. Tapi jika kita bersikeras$c,d\in\mathbb{N},$Saya pikir saya mungkin bisa menemukan bukti kombinatorial. Membiarkan$S$ menunjukkan himpunan $j$-multisets (yaitu ukuran $j$) dari $[1,\cdots, c+d]$. Membiarkan$C_j$ menunjukkan himpunan multiset ukuran $j$ dari $[1,\cdots, c]$ dan $D_{k-j}$ menunjukkan himpunan multiset ukuran $k-j$ dari $[c+1,\cdots, c+d]$. Membiarkan$E_j$ menunjukkan himpunan $k$-multisets dari $[1,\cdots, c+d]$ dengan $j$ elemen dari $[1,\cdots, c].$ Amati itu masing-masing $E_j$ terputus-putus, dan $S = \cup_{j=0}^k E_j\Rightarrow |S| = \sum_{j=0}^k |E_j|\tag{1}.$ Juga, tidak sulit untuk mendefinisikan kebijaksanaan $f : E_j \to C_j \times D_{k-j}.$ Sejak $|C_j| = \left({c\choose j}\right)$ dan $|D_{k-j}| = \left({d\choose k-j}\right)$ dan $ |E_j| = |C_j||D_{k-j}|$, menggantikan hasil ini menjadi $(1)$memberikan kesetaraan yang diinginkan. Tapi tentu saja, ini hanya berhasil$c,d\in \mathbb{N}.$
Jawaban
Untuk diperbaiki $k\in\Bbb N$ ekspresi
$$p(c,d)=\left(\!\!\binom{c+d}k\!\!\right)-\sum_{j=0}^k\left(\!\!\binom{c}j\!\!\right)\left(\!\!\binom{d}{k-j}\!\!\right)$$
adalah polinomial dalam $c$ dan $d$. Jika kita perbaiki$c\in\Bbb N$, ini menjadi polinomial dalam $d$. Entah polinomial ini identik$0$, atau hanya memiliki banyak nol. Sejak itu$0$ untuk setiap $d\in\Bbb N$, itu harus identik $0$. Jadi,$p(n,d)=0$ untuk setiap $n\in\Bbb N$ dan $d\in\Bbb R$. Tapi sekarang kita bisa bertahan$d$ tetap dan lihat $p(c,d)$ sebagai polinomial di $c$, dan dengan argumen yang sama bahwa polinomial harus identik $0$. Jadi,$p(c,d)=0$ untuk semua $c,d\in\Bbb R$.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\mbox{Prove that for any}\ c,d \in \mathbb{R}\ \mbox{and}\ k\in\mathbb{N}, \left(\!{c + d \choose k}\!\right) = \sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k - j}\!\right)}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k-j}\!\right)} = \sum_{j = 0}^{k}{c^{\,\large\overline{j}} \over j!} {d^{\,\overline{k - j}} \over \pars{k - j}!} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k! \over j!\pars{k - j}!} {\Gamma\pars{c + j}\Gamma\pars{d + k - j} \over \Gamma\pars{c + d + k}} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\int_{0}^{1}t^{c + j - 1} \pars{1 - t}^{d + k - j - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!}\int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\pars{t \over 1 - t}^{j}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1}\, \pars{1 + {t \over 1 - t}}^{k}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ \require{cancel} {\pars{c + d + k - 1}! \over \cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}} \,{1 \over k!} \bracks{\cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!} \over \pars{c + d - 1}!} = {c + d + k - 1 \choose k} \\[5mm] = &\ \bbx{\large\left(\!{c + d \choose k}\!\right)} \\ & \end{align}