Hitung batas trigonometri

Question

Saya butuh bantuan untuk menyelesaikan tugas ini, jika ada yang memiliki masalah serupa, itu akan membantu saya.

Tugasnya adalah:

Hitung menggunakan aturan $\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\large e $:

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\mathrm{tg}\: x}{1+\sin x}\right)\Large^{\frac{1}{\sin x}} $

Saya mencoba ini:

$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1+\mathrm{tg}\: x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}} $

Tapi saya tidak tahu, bagaimana menyelesaikan tugas ini. Terima kasih sebelumnya !

Answer 1

Menulis

$$\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{1/\sin x}=\frac{\left(1+\tan x\right)^{1/\sin x}}{\left(1+\sin x\right)^{1/\sin x}}$$

dan penyebut cenderung $e$ (karena $\sin x$ cenderung $0$).

Kemudian

$$\left(1+\tan x\right)^{1/\sin x}=\left(\left(1+\tan x\right)^{1/\tan x}\right)^{1/\cos x},$$

yang cenderung $e^1$.

Answer 2

Kami mencatat itu dengan aturan l'Hopital $$ \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}=\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\tan x)}{\sin x}=1 $$ Karena itu: $$ \lim_{x\to0}\bigg(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\bigg)^{1/\sin x}=\lim_{x\to0}\exp\bigg[\frac{\ln(1+\tan x)}{\sin x}- \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}\bigg]=e^{1-1}=1 $$ Kami juga dapat menunjukkannya menggunakan batas yang diperlukan: $$ \lim_{x\to0}\bigg(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\bigg)^{1/\sin x}= \frac{\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{1/\sin x}}{\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{1/\sin x}} \\ =\frac{\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}(1-\frac{1}{y^2 })^{1/2}]^y} {\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}]^y}=\frac{\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y} ]^y} {\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}]^y}=\frac{e}{e}=1 $$

Answer 3

Anda memiliki ide yang benar, tetapi untuk mendapatkan kecocokan yang lebih baik dengan formulir yang diberikan dalam aturan, Anda harus memisahkan add-end dari $1$dari pangkalan. Jadi

$\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac1{\sin x}}=\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac1{\sin x}}$

Sekarang perkenalkan suku kedua dari bilangan pokok sebagai faktor ke dalam pangkatnya. Kebalikan dari faktor tersebut kemudian dikalikan dengan eksponen awal$1/\sin x$:

$=\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}\cdot\dfrac{\tan x-\sin x}{(\sin x)(1+\sin x)}}$

$=\color{blue}{\left(\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}}\right)}^{\color{brown}{\dfrac{\tan x-\sin x}{(\sin x)(1+\sin x)}}}$

Ekspresi biru di dalam kumpulan tanda kurung terbesar mengikuti aturan Anda dan karenanya memiliki nilai pembatas $e$. Suku-suku yang tersisa, berwarna coklat, merupakan eksponen pada ungkapan ini yang cenderung$e$, yang memiliki beberapa batasan $L$yang harus Anda temukan. Batas keseluruhan kemudian akan menjadi$e^L$.