Identitas Laplacian dari Evans

Question

Dalam Teorema 1 (Memecahkan Persamaan Poisson) halaman 24 dari Persamaan Diferensial Parsial (2e) oleh Evans yang membandingkan persamaan (11) dan (13) tampaknya ada persamaan

$$ \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x f(x-y) \,dy = \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_y f(x-y) \,dy.$$

Untuk konteks: $\Phi$ adalah solusi fundamental dari persamaan Laplace, $-\Delta u = f$ di $\mathbb{R}^n$, dan $B(0,\epsilon)$ adalah bola jari-jari $\epsilon$ berpusat pada nol.

Dari mana asal kesetaraan dalam kaitannya dengan Laplacia? Itulah mengapa demikian

$$ \Delta_xf(x-y) = \Delta_yf(x-y) $$

memegang?

Saya telah melihat ini di referensi lain (halaman 149 dari Persamaan Diferensial Parsial dalam Tindakan (3e) - Salsa). Apakah ini sifat umum dari konvolusi atau sesuatu yang lebih halus? Dalam hal tingkat pemahaman, penjelasan tanpa ketergantungan pada teori ukuran lebih disukai.

Answer 1

Lakukan saja perhitungannya. Misalnya dalam 1 dimensi kita punya itu$\Delta_x = \partial_{xx}$. Menggunakan aturan rantai kami melihatnya$$\Delta_x f(x-y) = \partial_x (1\cdot f'(x-y))= (1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y)$$ di sisi lain kita punya $$\Delta_y f(x-y) = \partial_y ((-1)\cdot f'(x-y))= (-1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y).$$ Analognya benar untuk $n$-ukuran.

Singkatnya: untuk $\partial_y$ kami mendapatkan tanda minus tambahan dari aturan rantai tetapi karena kami mengambilnya dua kali di Laplacian, mereka membatalkan satu sama lain.