Integrasi $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$
Saya ingin berintegrasi $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Yang saya tahu adalah itu$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ dimana jumlahnya habis semua $2^{n-1}$ bisa jadi $\pm$.
Tapi jelas ini sulit untuk diintegrasikan.
Dari sini , saya jadi tahu tentang rumus Werner yang menurut saya cukup tidak rumit untuk menyelesaikan masalah di atas. Tapi saya tidak tahu bagaimana menggunakan formula ini secara sembarangan$n$ untuk masalah yang diberikan.
Terima kasih telah membantu saya sebelumnya.
Jawaban
Pertanyaan Anda adalah: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ kami dapat mencoba dan menggunakan fakta bahwa: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ lalu katakan: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ bagian pertama ini cukup mudah dilakukan: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ sekarang bagian yang sulit adalah menghitung: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ dan kemudian dengan jelas mengintegrasikan apa pun hasilnya