Jika $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ dan $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ untuk beberapa $\alpha \in \Phi$.
Ini adalah latihan 10.10 dalam buku Humphreys tentang Lie algebras.
Membiarkan $\Phi$ menjadi sistem root yang terletak di ruang euclidean $E$ dan biarkan $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ menjadi dasar untuk $\Phi$. Membiarkan$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ dengan semua $k_i\geq 0$ atau semuanya $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Buktikan itu juga $\lambda$ adalah kelipatan (mungkin 0) dari sebuah root, atau jika tidak, ada $\sigma \in \mathscr W$ (Weyl group) seperti itu $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ dengan beberapa $k_i'>0$ dan beberapa $k_i'<0$.
Dia memberikan tip berikut: Jika $\lambda$ bukan kelipatan dari sembarang root, lalu hyperplane $P_\lambda$ ortogonal untuk $\lambda$ tidak termasuk dalam $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Mengambil$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ dan kemudian temukan $\sigma \in \mathscr W$ untuk itu semua $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Saya tidak bisa membuktikan bahwa$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$, meskipun saya berhasil menyelesaikan latihan sebagai berikut. Mengambil apapun seperti itu$\mu$, karena setiap poin masuk $E$ adalah $\mathscr W$-conugate ke suatu titik di ruang Weyl dasar, ada $\sigma \in \mathscr W$ memuaskan $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$seperti yang diklaim. Secara khusus, masing-masing$\sigma \alpha_i \in \Phi$, jadi kami dapat menulis $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ untuk beberapa bilangan bulat (mungkin baru) $k_i'$. Sekarang,$\mu \in P_\lambda$, jadi
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ menyiratkan bahwa beberapa $k_i'>0$ dan beberapa $k_i'<0$, sebagai persyaratan $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ semuanya positif.
The Pertanyaan kemudian adalah: bagaimana membuktikan bahwa$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Semua perhitungan yang saya lakukan sejauh ini tidak berguna, seperti$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$tidak bisa menyiratkan apapun. Saya juga mencoba memulai dengan sederhana $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ dengan anggapan $\lambda - c\alpha\neq 0$ dan $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, Tapi itu hanya teriakan $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Ada bantuan? Terima kasih.
Jawaban
Lemma : Jika$H, H_1, ... H_r$ adalah hyperplanes (mis $(n-1)$-dimensi subruang) di beberapa $n$ruang -dimensi di atas bidang tak terhingga, dan $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, kemudian $H = H_j$ untuk beberapa $1 \le j \le r$.
Bukti : Dengan asumsi kita punya
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Sekarang perpotongan dua hyperplanes memiliki dimensi $n-2$kecuali kedua hyperplanes itu sama. Tetapi jika semua ruang dalam penyatuan di sebelah kanan adalah$(n-2)$- dimensional, kesatuan mereka tidak bisa menjadi$(n-1)$ruang -dimensi di kiri. QED.
Untuk menerapkan ini ke masalah Anda: Jika $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, lalu di dalam lemma ada akarnya $\alpha$ seperti yang $P_\lambda = P_\alpha$, akibatnya $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, yaitu $\lambda$ adalah kelipatan skalar dari $\alpha$.