Jumlah nilai eigen positif.

Question

Kita tahu jejak matriks adalah jumlah dari nilai eigen dari matriks yang diberikan. Misalkan kita mengetahui karakteristik polinom dari matriks tersebut, apakah ada hasil yang memberikan penjumlahan nilai eigen positif dari matriks tersebut?

Perhatikan bahwa saya hanya perlu menjumlahkan nilai eigen positif ... tidak semua nilai eigen.

Answer 1

Ini pada dasarnya sama sulitnya dengan menemukan nilai eigen individu ...

... khususnya, karena jika mudah, Anda dapat menggunakannya untuk menemukan nilai eigen individu.

Dari polinomial karakteristik suatu matriks $A$, mudah untuk mendapatkan polinomial karakteristik dari $A-kI$, dan jumlah semua nilai eigen positif dari $A-kI$ sama dengan jumlah semua nilai eigen yang lebih besar dari $k$ dari $A$. Secara khusus, jika$k$ berada di antara nilai eigen terbesar dan terbesar kedua, jumlah ini hanya akan menjadi nilai eigen terbesar $A$.

Kita dapat menemukan a $k$ dengan pencarian biner (perhatikan bahwa khususnya, jumlah nilai eigen positif dari $A$ adalah batas atas nilai eigen terbesar dari $A$, jadi kami memiliki rentang untuk dikerjakan).

Setelah kita mengetahui nilai eigen terbesar dari $A$, kita dapat menjelaskannya dan menggunakan proses serupa untuk menemukan nilai eigen terbesar kedua, terbesar ketiga, dan seterusnya.

---

Perhatikan bahwa "sesulit menemukan nilai eigen individu" berarti bahwa secara khusus, tidak ada rumus pasti untuk mencari jumlah ini, jika matriksnya adalah $5\times 5$ atau lebih besar - berbeda dengan jumlah semua nilai eigen, yang hanya berupa jejak.

Answer 2

Membiarkan $C$menjadi kontur persegi besar berorientasi positif dengan sisi kiri kontur di sepanjang sumbu imajiner. Kemudian$$ p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{r_n} \\ \frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}=\frac{r_1}{\lambda-\lambda_1}+\frac{r_2}{\lambda-\lambda_2}+\cdots+\frac{r_n}{\lambda-\lambda_n} \\ \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\lambda\frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}d\lambda = \sum_{\lambda_j > 0}r_j\lambda_j = \mbox{sum of roots in the right half-plane} $$Jika Anda tahu semua akarnya nyata, maka Anda memiliki apa yang Anda inginkan. Jika tidak, maka Anda dapat mengintegrasikan cukup dekat dengan sumbu nyata, dan Anda hanya akan menjumlahkan akar pada sumbu nyata. Mereka akan dijumlahkan menurut banyaknya.