Lacak entropi

Question

Saya mempelajari hubungan antara fungsi trace entropy dan kombinatorik dan saya dihadapkan pada masalah berikut. Ayo$\mathcal {D}$ menjadi operator diferensial berikut $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ yaitu $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Untuk $m\ge 0$ integer, jika $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ kemudian $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ dan, (setidaknya secara formal) untuk suatu fungsi $g$ kita bisa menulis $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ dimana $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Saya mencoba mencari tahu fungsi seperti apa $g(x)$ dapat memenuhi ketentuan berikut pada $(0;1]$

SAYA) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$. (Positif)

II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (semacam$\mathcal {D}$-kecekungan)

AKU AKU AKU) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (ini adalah cekung standar yang diekspresikan dengan operator $\mathcal {D}$

IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ seperti yang $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ seperti yang $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Jika kita hanya memberlakukan kondisi I), II) dan III) ada banyak fungsi yang memuaskan mereka, tetapi

1. menambahkan IV) Saya tidak dapat menemukan fungsi apa pun kecuali bentuk berikut $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ konstanta nyata (di sini $\varepsilon=1$). Catat itu$g$ tidak memuaskan V).

2. menambahkan IV) dan V) Saya tidak dapat menemukan fungsi lain kecuali jejak entropi Boltzman-Gibbs-Shannon: $-x\cdot \log(x)$

Saya "takut" bahwa jejak entropi Boltzman-Gibbs-Shannon adalah fungsi unik yang memenuhi I) -V).

Terima kasih sebelumnya untuk sudut pandang apa pun.

Answer 1

Untuk apapun $c\in(0,\log2]$, fungsinya $g$ ditentukan oleh rumus $g(x)=cx$ untuk $x\in[0,1]$ memenuhi ketentuan Anda I) –V), tetapi ini bukan jejak entropi Boltzman – Gibbs – Shannon.

---

Masih banyak lagi fungsi lainnya $g$memenuhi kondisi Anda I) –V) yang bukan jejak entropi Boltzman – Gibbs – Shannon. Secara khusus, untuk semua$c_1\in(0,\log2)$, fungsi kontinu nonnegatif apa pun $H$ di $[0,1]$, dan sekecil apa pun yang cukup nyata $c_2\ge0$ dan $c_3\ge0$, fungsinya $g$ ditentukan oleh rumus $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ untuk $x\in[0,1]$ memenuhi ketentuan Anda I) –V), tetapi ini bukan jejak entropi Boltzmann – Gibbs – Shannon.