$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ menyiratkan $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

Membiarkan $f$ menjadi fungsi terukur Lebesgue $[0,1]$ dengan $f(x)>0$hampir di mana-mana
Misalkan$\{E_k\}_k$ adalah urutan set terukur Lebesgue $[0,1]$ seperti yang $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Menunjukkan bahwa $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Pengamatan Saya:
Biarkan$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
Kemudian $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$adalah kumpulan yang dapat dihitung dari himpunan bagian terukur yang meningkat. Dan$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Juga sebagai $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ adalah urutan himpunan yang meningkat, kami punya $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

Apalagi secara terpisah kita punya

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Tetapi saya tidak dapat melihat bagaimana menggunakan detail ini untuk sampai pada jawaban akhir.
Hargai bantuan Anda

Answer 1

Membiarkan $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Lalu masing-masing$B_n$ adalah satu set terukur dan $B=\cup B_n$memiliki ukuran 1 dengan asumsi. Sekarang ukuran$E_k\cap B_n$ pergi ke $0$ sebagai $k\to \infty$ untuk setiap $n$. Begitu$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$