Masalah Sylvester.

Question

Satu set yang terbatas $S$titik dalam bidang memiliki properti bahwa garis yang melewati dua titik ini melewati titik ketiga. Buktikan bahwa semua poin masuk$S$ adalah collinear.

Saya melihat bukti dari masalah ini dengan menggunakan prinsip ekstrim.

Misalkan poin tidak collinear. Diantara pasangan$(p,L)$ terdiri dari sebuah garis $L$ dan titik yang tidak berada di garis itu, kami memilih satu yang meminimalkan jarak $d$ dari $p$ untuk $L$. Membiarkan$f$ menjadi kaki tegak lurus dari $p$ untuk $L$. Ada (dengan asumsi) setidaknya tiga poin$a,b,c$ di $L$. Ini, dua di antaranya, katakanlah$a$ dan $b$ berada di sisi yang sama dari $f$. Membiarkan$b $ menjadi lebih dekat $f$ dari $a$. Lalu jarak dari$b$ untuk berbaris $ap$ kurang dari $d$. Kontradiksi.

Pertanyaan saya ada di bagian terakhir. Saya tidak mengerti bagaimana "Lalu jarak dari$b$ untuk berbaris $ap$ kurang dari $d$. "menghasilkan kontradiksi. Bisakah seseorang menjelaskan?

Answer 1

Di awal pembuktian kami telah memilih $(p,L)$ sedemikian rupa sehingga jaraknya $d$ antara $p$ dan $L$ minimum di antara semua garis dan titik bukan di garis itu.

Kontradiksi muncul ketika kami menghasilkan pasangan $(b, ap)$ dengan jarak kurang dari $d$, yang bertentangan dengan kondisi minimalitas di $(p,L)$.

"Geometri" bisa menjadi tag.

EDIT: mengapa $b$ lebih dekat ke $ap$ dari $p$ adalah untuk $L$, pertimbangkan segitiga siku-siku $\triangle afp$.

$b$ ada di samping $af$. Jaraknya dari garis$ap$ tidak bisa melebihi ketinggian $\triangle afp$ dengan basis $ap$.

Sejak $ap$ adalah hipotenusa, $ap > af$.

Mengingat luas $\triangle afp$, kami melihat bahwa ketinggian $\triangle afp$ dengan basis $ap$ kurang dari ketinggian $\triangle afp$ dengan basis $af$, yang mana $fp = d$.

Ini memberikan hasil yang diinginkan: jarak $b$ dari $ap$ kurang dari $d$.

Answer 2

Untuk penjelasan visual mengapa jarak dari $B$ untuk $AP$lebih kecil, berikut ilustrasinya. Saya telah membuat huruf besar semua label titik, dan menambahkannya$G$ dan $H$, yang merupakan kaki dari garis tegak lurus dari $B$ dan $F$ untuk berbaris $AP$, masing-masing. Itu harus jelas$PF > FH > BG$. Bukti formal menggunakan segitiga dan proporsi yang serupa.