membangun homotopi

Question

Membiarkan $X,Y$ menjadi ruang topologi dan $f,g:X \rightarrow Y$menjadi peta berkelanjutan. Seharusnya$f,g$ adalah homotopik oleh homotopi $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Membiarkan$\gamma$ menjadi jalan masuk $Y$ dengan titik akhir $y_0=f(x_0)$ dan $z_0=g(x_0)$ didefinisikan oleh $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Membiarkan$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ menjadi lingkaran masuk $X$ dengan $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Saya ingin menunjukkan bahwa jalannya$f \circ \alpha$ dan $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ adalah path homotopic dengan membentuk homotopy $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
saya tahu itu$\gamma$ menginduksi perubahan isomorfisme titik dasar $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ diberikan oleh $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ untuk semua $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Saya tidak tahu bagaimana membangun homotopi ini$G$ secara khusus, tetapi saya tahu itu harus memenuhi yang berikut: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

TEORI: Biarkan $h:X \to Y$menjadi fungsi yang berkelanjutan. Jika$α,β$ adalah jalur homotopik di $X$ kemudian $hoα$ dan $hoβ$ adalah homotopic dalam $Y$.
Kami diberikan bahwa ada peta berkelanjutan$H:X×I \to Y$ seperti yang $H(x,0)=f(x)$ dan $H(x,1)=g(x)$.
Karenanya untuk menunjukkan jalan itu$foα$ dan $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ adalah homotopic kita harus mencari jalur masuknya $X×I$ sedemikian rupa sehingga citra mereka di bawah H. $foα$ dan $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Membiarkan$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Karenanya$p$ dan $c \ast q \ast \hat c$adalah jalur yang kami butuhkan.
Sekarang biarkan$G:I×I \to X×I$ didefinisikan sebagai $G(s,t)=(α(s),t)$. Sekarang jika kita dapat menemukan jalan masuk$I×I$ sedemikian rupa sehingga citra mereka di bawah G adalah $p$ dan $c \ast q \ast \hat c$ kami selesai karena itu artinya $p$ dan $c \ast q \ast \hat c$bersifat homotopik.
Membiarkan$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ dan $d(s)=(s,0)$.
Itu bisa dilihat$d$ dan $a \ast b \ast \hat c$adalah jalur yang dibutuhkan. Sekarang karena kedua jalur tersebut$d$ dan $a \ast b \ast \hat c$ memiliki titik awal dan terminal yang sama dan sejak $I×I$hanya terhubung mereka homotopic. Menyiratkan$p$ dan $c \ast q \ast \hat c$ adalah homotopic menyiratkan $foα$ dan $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ bersifat homotopik.