Membuktikan adanya solusi ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Aug 15 2020

Membiarkan $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ menjadi dua kali dibedakan dengan $f'' > 0$, dan biarkan $u_- > u_+$menjadi bilangan real. Tunjukkan bahwa ada solusi$\varphi(x)$ ke persamaan diferensial berikut: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ seperti yang $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, dan dimana $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.


Upaya awal saya adalah mengamati bahwa DE ini dapat diintegrasikan dengan baik ke yang berikut: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Jadi, cukup menunjukkan adanya solusi untuk DE ini, di mana kita bebas memilih $C$. Saya mencoba untuk membawa RHS ke LHS, yang memberikan:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ dimana $D \in \Bbb{R}$. Jadi, jika kita mendefinisikan:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ dan mengasumsikan itu $g$ jadi bisa dibalik $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ akan menjadi solusi untuk $(2)$. Namun, ada beberapa masalah dalam pendekatan ini yang perlu kami atasi:

  1. Integral tidak akan masuk akal jika $f(\varphi) - s\varphi + C$ menghilang di beberapa titik $\Bbb{R}$. Seperti kita bebas memilih$C$, jika kami dapat menunjukkannya $f(\varphi) - s\varphi$ dibatasi dari atas atau bawah, lalu pilihan seperti itu $C$akan ada. Saya menduga kita dapat menggunakan konveksitas dan definisi$s$ untuk membuktikan ini, tetapi upaya saya sejauh ini sia-sia.
  2. Jika integral masuk akal, masalah lainnya adalah jika $g$bisa dibalik. Namun, ini seharusnya tidak menjadi masalah karena FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ jadi jika penyebut tidak hilang, $g'$ berkelanjutan dan karenanya harus benar-benar positif atau negatif, karenanya $g$ sangat monoton, sehingga dapat dibalik.
  3. Masalah terbesar di sini adalah bahwa definisi ini tidak menjamin kebutuhan $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Saya mencoba memanipulasi integral agar sesuai dengan kondisi ini, tetapi sejauh ini tidak berhasil.

Saya juga mencoba pendekatan lain, seperti menggunakan iterasi Picard, tetapi karena masalah ini sebenarnya bukan IVP, mereka tidak berhasil.

Setiap bantuan dihargai.

Jawaban

4 EditPiAf Aug 17 2020 at 15:58

Menggunakan batasan di $\pm\infty$, kami temukan $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$lihat latihan ini di Evans PDE. The busung ketat dari$\varphi\mapsto \varphi'$ mengikuti dari konveksitas yang ketat $f''>0$ dari $f$. Properti ini menghasilkan$\varphi' < 0$ untuk $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Karena itu,$\varphi$ adalah fungsi penurunan yang mulus, yang diturunkan dari $u_-$ untuk $u_+$. Untuk menyelidiki stabilitas kesetimbangan$\varphi = u_\pm$, kami menghitung tanda turunannya $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ pada kesetimbangan, yaitu negatif pada $\varphi = u_+$ dan positif pada $\varphi = u_-$karena konveksitas yang ketat. Karena itu,$u_+$ adalah keseimbangan yang menarik dan $u_-$adalah keseimbangan menjijikkan. Sejak rhs. dari persamaan diferensial di atas adalah non-singular dan tidak memiliki akar tambahan, solusi terbatas apa pun harus menghubungkan kedua nilai tersebut$u_\pm$ melalui fungsi penurunan yang mulus $\varphi$. Integrand in$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ adalah tunggal di batasnya $\varphi = u_\pm$. Konvergensi integral tak wajar ini mengikuti perilaku asimtotiknya di perbatasan.