Mendapatkan PDF dari $\chi_k^2$
Membiarkan $\{X_i\}_{i=1}^{k}$ menjadi urutan variabel acak independen sedemikian rupa $X_i\sim N(0,1)$, kemudian, variabel acak $\sum_{i=1}^kX_i^2\sim\chi_k^2$. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa PDF dari$\chi_1^2$adalah \ begin {persamaan} f (x): = \ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ exp (- \ frac {x} {2}) x ^ {- \ frac { 1} {2}} 1 _ {[0, \ infty)} \ teks {. } \ end {persamaan} Diketahui bahwa jika$X$ dan $Y$ benar-benar berkelanjutan dan independen dengan PDF $f$ dan $g$ masing-masing, lalu $X+Y$ benar-benar berkelanjutan dengan PDF $h(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy$, lebih lanjut, jika $\{Y_i\}_{i=1}^k$ benar-benar berkelanjutan dan mandiri $\sum_{i=1}^kY_i$benar-benar berkelanjutan dengan PDF \ begin {persamaan} h (x_1) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R}} f_1 (x_1- \ sum_ {i = 2} ^ kx_i) \ prod_ {i = 2} ^ {k} f_i (x_i) dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {persamaan} di mana$f_i$ adalah PDF dari $Y_i$. Menerapkan ini ke$Y_i:=X_i^2$dan menyederhanakan kita memiliki \ begin {persamaan} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac { x_1} {2} \ kanan) \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 3} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i} ((x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i) -x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {persamaan} melakukan integral terdalam yang kita miliki sehingga sama dengan$\pi$, jadi \ begin {persamaan} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} { 2} \ kanan) \ pi \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 4} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ \ infty x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {persamaan} tapi sekarang, integral terdalam menyimpang, jadi, jelas, ada yang salah di sini. Bisakah Anda membantu saya menemukan kesalahannya?
Edit
Pertanyaan utama sudah diselesaikan (terima kasih!) , Sekarang, hanya untuk bersenang-senang, jika kita definisikan$a_i=x_1-\sum_{j=i}^kx_j$, maka jelaslah bahwa $a_i=a_{i+1}-x_{i+1}$, jadi masalahnya sekarang adalah menghitung \ begin {persamaan} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} {2} \ kanan) \ pi \ int_ {0} ^ {a_k} x_k ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdots \ int_ {0} ^ {a_4} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {a_3} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3dx_4 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {persamaan} menghitung integral terdalam pertama mencoba menemukan pola, tunjukkan hal berikut kepada kita: \ begin {gathering} \ int_ {0} ^ {a_2} (a_2-x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ pi a_2 ^ 0 \\ \ int_ {0} ^ {a_3} (a_3-x_3) ^ {0} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = 2a_3 ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ int_ {0} ^ {a_4} (a_4-x_4) ^ {\ frac {1} {2}} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ frac {\ pi} {2} a_4 ^ 1 \ text {,} \\ \ end {gathering} pola tampak jelas untuk$a$'s, tapi tidak terlalu banyak untuk $\pi$dan non-$\pi$koefisien. Ini mengikuti seperti ini$\frac{4}{3}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{5\pi}{16}$, $\frac{32}{35}$, $\frac{35\pi}{128}$, $\frac{256}{315}$, $\frac{63\pi}{256}$, ... dan ini agak aneh !! Tampaknya sangat sulit untuk menemukan pola di sini dengan tujuan akhirnya mendapatkan dengan memasukkan PDF dari$\chi_k^2$ (Saya tahu fungsi karakteristik adalah cara yang harus dilakukan tetapi masih ingin bersenang-senang!)
Jawaban
Integral terluar harus memiliki batas atas $x$tidak $\infty$. Misalnya, file$\chi_2^2$ kasus berkurang menjadi$$\int_0^x\frac{1}{2\pi\sqrt{y(x-y)}}\exp\frac{-x}{2}dy\stackrel{y=x\sin^2t}{=}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\pi}\exp\frac{-x}{2}dt=\frac12\exp\frac{-x}{2}.$$
Berikut pendekatan alternatif: sejak $\chi_1^2$ distribusi memiliki fungsi karakteristik $(1-2it)^{-1/2}$, itu $\chi_k^2$ kasus memiliki cf $(1-2it)^{-k/2}$. Hanya satu PDF yang dapat memiliki cf ini; dengan inspeksi, itu$\frac{2^{-k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp\frac{-x}{2}$ di $[0,\,\infty)$.
Setelah membuktikan bahwa apapun $X_i^2\sim \chi_{(1)}^2$ sesuai fakta itu $X_i$ independen dari $X_j$ menyiratkan juga $X_i^2$ independen dari $X_j^2$ pdf Anda dapat segera diturunkan menggunakan MGF dan propertinya