mengapa elemen diagonal ini positif

Question

Misalkan saya memiliki matriks pasti positif $X\in\mathcal{S}^n_{++}$, di mana yang terakhir menunjukkan ruang dari matriks pasti positif simetris. Membiarkan$Y$menjadi hanya simetris. Kami bisa menulis$Y$ sebagai $Y=Q\Lambda Q^T$, dimana $Q$adalah matriks ortogonal. Bisakah kita mengatakan sesuatu tentang elemen diagonal$(Q^TX^{-1}Q)$. Saya curiga benar bahwa mereka positif, yaitu$(Q^TX^{-1}Q)_{ii}>0$. Tapi bagaimana orang bisa melihat ini?

Answer 1

Kebalikan dari matriks SPD $X$ adalah SPD: simetris, karena $(X^{-1})^T=(X^T)^{-1}=X^{-1}$, dan nilai eigennya adalah kebalikan dari nilai eigen $X$.

Untuk matriks ortogonal $Q$, matriks $Q^TX^{-1}Q$juga SPD, karena mirip dengan$X^{-1}$.

Sekarang, untuk matriks SPD apa pun $A$, $A_{jj}=e_j^TAe_j>0$, dimana $e_j$ adalah vektor dengan semua entri nol kecuali $j$-th, yaitu $1$.